برای حل این مسائل، باید به فرمول‌های مربوط به مجموع زوایای داخلی هر شکل توجه کنیم.
1. **شکل اول (شش‌ضلعی)**
- مجموع زوایای داخلی شش‌ضلعی: \( (6-2) \times 180 = 720 \) درجه
- با توجه به قرینه بودن زوایا، اگر یک زاویه \( x \) درجه باشد، بقیه زوایا هم همین مقدار است.
- بنابراین باید \( 5x + 120 = 720 \)
- حل معادله:
\[
5x + 120 = 720
\]
\[
5x = 600 \rightarrow x = 120
\]
2. **شکل دوم (ذوزنقه)**
- مجموع زوایای داخلی ذوزنقه: \( 360 \) درجه
- دو زاویه دایره‌ای متقابل داریم که مکمل هستند.
- زاویه داده شده 130 درجه است، بنابراین:
\[
130 + 2a = 360
\]
\[
a = 115
\]
3. **شکل سوم (مثلث متساوی‌الساقین)**
- مجموع زوایای داخلی مثلث: \( 180 \) درجه
- زاویه داده شده 80 درجه است.
- بنابراین:
\[
2a + 80 = 180
\]
\[
2a = 100 \rightarrow a = 50
\]
4. **پنج‌ضلعی**
- مجموع زوایای داخلی پنج‌ضلعی: \( (5-2) \times 180 = 540 \) درجه
- زوایا برابر و هر زاویه 108 درجه است.
5. **مثلث قائم‌الزاویه**
- یک زاویه 90 درجه است، بنابراین:
\[
b + 90 + 40 = 180 \rightarrow b = 50
\]
6. **تساوی زاویه‌های متقابل با خط تقارن**
- مانند شکل آخر، اگر زاویه 40 درجه است، زوایای مجاور مکمل آن هستند و هر کدام \( 70 \) درجه است.
با استفاده از قضایای مربوط به زوایای داخلی و قرینه، به راحتی می‌توان به مقادیر خواسته‌شده رسید.
