برای حل این مسئله نیاز داریم به قضیهای از هندسه مثلثها بپردازیم. سؤال مطرح شده به حالت خاصی از مثلثها اشاره دارد.
گفته شده که اگر زاویه بین دو ساق مثلث متساویالساقین \( 1 \) رادیان باشد (حدود ۵۷.۳ درجه)، اندازه قاعده این مثلث کوچکتر از اندازه هر یک از ساقهای آن است.
برای حل، ابتدا مثلث متساویالساقین را که دو ساق آن \( a \) و زاویه بین آنها \( 1 \) رادیان است، در نظر میگیریم.
طبق فرمول محاسبه طول قاعده \( b \) در مثلث متساویالساقین با استفاده از قانون کسینوس داریم:
\[ b^2 = a^2 + a^2 - 2a^2 \cdot \cos(1) \]
\[ b^2 = 2a^2 (1 - \cos(1)) \]
از آنجایی که \(\cos(1)\) مقداری بین ۰ و ۱ دارد، عبارت \(1 - \cos(1)\) مثبت است. اما باید مطمئن شویم که \(b < a\).
برای تقریب بهتر، مقدار \(\cos(1)\) را محاسبه میکنیم:
\(\cos(1) \approx 0.5403\).
بنابراین:
\[ b^2 = 2a^2 (1 - 0.5403) = 2a^2 (0.4597) \]
\[ b^2 = 0.9194a^2 \]
\[ b = a \sqrt{0.9194} \]
چون \(\sqrt{0.9194} < 1\)، پس داریم \(b < a\).
در نتیجه اثبات کردیم که طول قاعده \(b\) کوچکتر از طول هر ساق \(a\) است.
