برای حل این مسئله، ابتدا عدد مورد نظر را با \( x \) نمایش میدهیم. طبق متن سوال، روابط را میتوان به صورت زیر نوشت:
\[
5x + 2 = 3\sqrt{x} - 2
\]
حالا ابتدا هر دو سمت معادله را ساده میکنیم. ما ابتدا میخواهیم 2 را به سمت چپ انتقال دهیم:
\[
5x + 2 + 2 = 3\sqrt{x} \implies 5x + 4 = 3\sqrt{x}
\]
حالا برای راحتی، هر دو طرف معادله را به توان 2 میرسانیم تا از زیر رادیکال خلاص شویم:
\[
(5x + 4)^2 = (3\sqrt{x})^2
\]
که به این شکل درمیآید:
\[
(5x + 4)^2 = 9x
\]
حالا عبارت سمت چپ را باز میکنیم:
\[
25x^2 + 40x + 16 = 9x
\]
سپس 9x را به سمت چپ انتقال میدهیم:
\[
25x^2 + 40x + 16 - 9x = 0 \implies 25x^2 + 31x + 16 = 0
\]
حالا یک معادله درجه دو داریم که میتوانیم با استفاده از فرمول حل معادله درجه دو آن را حل کنیم:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
در اینجا، \( a = 25 \)، \( b = 31 \) و \( c = 16 \):
\[
x = \frac{-31 \pm \sqrt{31^2 - 4 \cdot 25 \cdot 16}}{2 \cdot 25}
\]
حالا محاسبه میکنیم:
\[
31^2 = 961
\]
و
\[
4 \cdot 25 \cdot 16 = 1600
\]
بنابراین:
\[
b^2 - 4ac = 961 - 1600 = -639
\]
از آنجایی که دلتای (مقدار زیر رادیکال) منفی است، نشان میدهد که معادله هیچ ریشه حقیقی ندارد. به این معنی که عدد معینشده که در سوال درخواست شده، وجود ندارد.
پاسخ نهایی:
عدد مورد نظر وجود ندارد.
