برای حل این مسئله، ابتدا به یاد داشته باشیم که در ناحیه سوم، سینوس و کسینوس هر دو منفی هستند، ولی تانژانت مثبت است.
با توجه به اینکه \(\cos \beta = -\frac{2}{3}\)، و با استفاده از رابطه‌ی فیثاغورثی مثلثات:
\[ \sin^2 \beta + \cos^2 \beta = 1 \]
جایگذاری کنیم:
\[ \sin^2 \beta + \left(-\frac{2}{3}\right)^2 = 1 \]
\[ \sin^2 \beta + \frac{4}{9} = 1 \]
\[ \sin^2 \beta = 1 - \frac{4}{9} \]
\[ \sin^2 \beta = \frac{5}{9} \]
پس:
\[ \sin \beta = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3} \]
چون در ناحیه سوم هستیم، سینوس باید منفی باشد.
حال تانژانت را محاسبه می‌کنیم:
\[ \tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \]
بنابراین \(\tan \beta\) برابر است با \(\frac{\sqrt{5}}{2}\).
