برای محاسبه مساحت مثلث متساوی الاضلاع با ضلع \( a \)، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
\[
S = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]
**توضیح و اثبات:**
۱. یک مثلث متساویالاضلاع با اضلاع \( a \) در نظر بگیرید. اگر یکی از این ضلعها به عنوان قاعده در نظر گرفته شود، مثلث را به دو مثلث قائمالزاویه کوچکتر تقسیم کنید.
۲. ارتفاع این مثلثها را پیدا کنید. از فرمول فیثاغورث استفاده میکنیم:
- نیمه قاعده: \( \frac{a}{2} \)
- ضلع بلندتر (هیپوتنوز): \( a \)
- ارتفاع را با \( h \) نشان میدهیم. پس داریم:
\[
a^2 = \left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2
\]
\[
h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}
\]
\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2}a
\]
۳. حالا که ارتفاع را داریم، مساحت مثلث را محاسبه میکنیم:
\[
S = \frac{1}{2} \times \text{قاعده} \times \text{ارتفاع} = \frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2
\]
این نتیجه فرمولی است که برای مساحت مثلث متساوی الاضلاع استفاده میکنیم.
