برای محاسبه احتمال اینکه عددی به تصادف از بین اعداد ۱ تا ۲۰۰ انتخاب شود و این عدد بر ۳ بخشپذیر باشد ولی بر ۴ بخشپذیر نباشد، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
### ۱. تعداد کل اعداد:
شمارش کل اعداد بین ۱ تا ۲۰۰ بسیار ساده است. ما ۲۰۰ عدد داریم.
### ۲. شمارش اعداد بر ۳ بخشپذیر:
اعداد بر ۳ را می‌توان با محاسبه تعداد اعداد صحیحی که بر ۳ بخش‌پذیرند، پیدا کرد. برای این‌کار:
- بزرگ‌ترین عددی که در این بازه بر ۳ بخشپذیر است ۲۰۰ است که نیک می‌دانیم ۲۰۰ بر ۳ بخشپذیر نیست، بلکه ۱۹۸ که برابر با \(3 \times 66\) است.
- کوچک‌ترین عدد بر ۳ در این بازه ۳ است.
- بنابراین، اعداد بر ۳ از ۳ تا ۱۹۸ به صورت ۳، ۶، ۹، …، ۱۹۸ تشکیل می‌دهند. این‌ها یک دنباله هندسی هستند. فرمول تعداد اعضای یک دنباله:
\[
n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1
\]
\(a_n\) = ۱۹۸، \(a_1\) = ۳، \(d\) = ۳. بنابراین:
\[
n = \frac{198 - 3}{3} + 1 = \frac{195}{3} + 1 = 65 + 1 = 66
\]
پس ۶۶ عدد بر ۳ بخشپذیر داریم.
### ۳. شمارش اعداد بر ۴ بخشپذیر:
برای یافتن تعداد اعداد بر ۴:
- بزرگ‌ترین عدد بر ۴ در بازه ۱ تا ۲۰۰ برابر با ۲۰۰ است.
- کوچک‌ترین عدد بر ۴ برابر با ۴ است.
- بنابراین اعداد بر ۴ به شکل ۴، ۸، ۱۲، …، ۲۰۰ هستند. با فرمول مشابه:
\[
n = \frac{200 - 4}{4} + 1 = \frac{196}{4} + 1 = 49 + 1 = 50
\]
پس ۵۰ عدد بر ۴ بخشپذیر داریم.
### ۴. شمارش اعداد بر ۱۲ بخشپذیر (اعدادی که هم بر ۳ و هم بر ۴ بخش‌پذیرند):
چرا که این اعداد باید هم‌زمان بر ۳ و ۴ بخشپذیر باشند.
- بزرگ‌ترین عدد بر ۱۲ برابر ۱۹۲ (چرا که \(12 \times 16\)) است.
- و کوچک‌ترین عدد بر ۱۲ برابر با ۱۲ است.
- بنابراین اعداد بر ۱۲ به شکل ۱۲، ۲۴، ۳۶، …، ۱۹۲ هستند. با فرمول مشابه:
\[
n = \frac{192 - 12}{12} + 1 = \frac{180}{12} + 1 = 15 + 1 = 16
\]
پس ۱۶ عدد بر ۱۲ بخشپذیر داریم.
### ۵. حتماً بر ۳ و نه بر ۴:
برای شماره‌هایی که بر ۳ ولی نه بر ۴ هستند، از فرمول زیر استفاده میکنیم:
\[
\text{مجموع کل اعداد بر ۳} - \text{مجموع اعداد بر ۱۲} = 66 - 16 = 50
\]
بنابراین، ۵۰ عدد داریم که بر ۳ بخش‌پذیرند و بر ۴ نیستند.
### ۶. احتمال:
احتمال اینکه عدد انتخابی بر ۳ بخشپذیر باشد ولی بر ۴ نباشد، به صورت زیر محاسبه می‌شود:
\[
P = \frac{\text{تعداد اعداد بر ۳ ولی نه بر ۴}}{\text{تعداد کل اعداد}} = \frac{50}{200} = \frac{1}{4}
\]
### نتیجه:
احتمال آنکه عدد انتخابی بر ۳ بخشپذیر باشد ولی بر ۴ بخشپذیر نباشد برابر با \(\frac{1}{4}\) است.
