برای محاسبه ارتفاعی که در آن وزن یک شخص به مقدار یک چهارم وزن او در سطح زمین میرسد، از قانون جهانی گرانش استفاده میکنیم. طبق این قانون، وزن یک جسم در ارتفاع h از سطح زمین به صورت زیر محاسبه میشود:
\[ W' = \frac{W}{(1 + \frac{h}{R})^2} \]
که در آن:
- \( W' \) وزن در ارتفاع h
- \( W \) وزن در سطح زمین
- \( R \) شعاع زمین
- \( h \) ارتفاع از سطح زمین
برای یافتن ارتفاع مورد نظر که در آن وزن به مقدار یک چهارم کاهش مییابد، معادله زیر را مینویسیم:
\[ W' = \frac{1}{4} W \]
با قرار دادن رابطه وزن در معادله داریم:
\[ \frac{W}{(1 + \frac{h}{R})^2} = \frac{1}{4} W \]
حال با حذف \( W \) (چراکه در هر طرف معادله حضور دارد) و سادهسازی، به معادله زیر میرسیم:
\[ \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2} = \frac{1}{4} \]
اکنون دو طرف معادله را معکوس میکنیم:
\[ (1 + \frac{h}{R})^2 = 4 \]
سپس هر دو طرف را به توان یک دوم میرسانیم:
\[ 1 + \frac{h}{R} = 2 \]
با کم کردن یک از هر دو طرف:
\[ \frac{h}{R} = 1 \]
حال با ضرب در R، ارتفاع را به دست میآوریم:
\[ h = R \]
پس نتیجه میگیریم که در ارتفاعی به اندازه یک شعاع زمین از سطح زمین، وزن یک شخص به مقدار یک چهارم وزن او در سطح زمین میرسد.
