پاسخ به سوالات ریاضی نهم به شرح زیر است:
**زیرسوال الف:**
یک کارخانه میخواهد لیوانهایی به شکل هرم منتظم چهاروجهی تولید کند. مسئله این است که طول هر یال ۱ سانتیمتر است. چند لیوان میتوان تولید کرد که مجموع مساحتهای لیوانها ۱۰۰۰ مترمربع باشد؟
برای حل این سوال از فرمول مساحت و حجم مثلث متساویالاضلاع و هرم منتظم استفاده میکنیم:
1. **مساحت مثلث متساویالاضلاع:**
- هر وجه از هرم، مثلث متساویالاضلاع با طول یال ۱ سانتیمتر است.
- مساحت یک مثلث متساویالاضلاع با طول یال \(a\) برابر است با:
\[
A = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2
\]
2. **مساحت سطح کل هرم:**
- هرم چهاروجهی متساویالاضلاع دوازده وجه مثلث دارد.
- بنابراین، مساحت کل سطح هرم برابر است با:
\[
4 \times A = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3} \text{ cm}^2
\]
3. **بررسی تعداد لیوان:**
- کل مساحت مورد نظر ۱۰۰۰ مترمربع است، معادل ۱,۰۰۰,۰۰۰ سانتیمتر مربع.
- تعداد لیوانها برابر است با:
\[
\frac{1,000,000 \text{ cm}^2}{\sqrt{3} \text{ cm}^2} = \frac{1,000,000}{\sqrt{3}}
\]
با تقریب، حدود ۵۷۷۳۵۲ لیوان میشود.
**زیرسوال ب:**
- برای محاسبه حجم مخروطی که از چرخش مثلث قائمالزاویه حاصل میشود:
- مثلث قائمالزاویه با \(a = 10\) و \(b = 3\) داریم.
- حجم مخروط برابر است با:
\[
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
\]
- که \(r = 3\) و \(h = 10\).
\[
V = \frac{1}{3} \pi \times 3^2 \times 10 = 90\pi \approx 282.74 \text{ cm}^3
\]
**زیرسوال ج:**
- حجم بخشی از کره:
- شعاع \(r = 7\) cm است.
- حجم یک نیم کره از کره (چند قسمتی) است که با برش مخروط برداشت شده:
\[
V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3
\]
- که با تقریب:
\[
V = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi \times 7^3 = \frac{1372}{3} \pi \approx 1436.76 \text{ cm}^3
\]
این محاسبات کمک میکند تا دانشآموز سوالات را بهتر درک کند.
