برای حل این سوال، ابتدا باید مفهومهای مربوط به چندضلعی منتظم و نسبتهای تشابه را بررسی کنیم.
1. **محیط و نسبتهای تشابه:**
برای چندضلعیهای منتظم، محیط برابر است با تعداد اضلاع \( n \) ضربدر طول یک ضلع. اگر نسبت محیط یک \( n \) ضلعی به \( n \) ضلعی دیگر \( \frac{3}{5} \) باشد، این به معنی آن است که اگر طول ضلع اول را \( a \) و طول ضلع دوم را \( b \) بگیریم، \( \frac{a}{b} = \frac{3}{5} \).
2. **مجموع زوایای داخلی و خارجی:**
- مجموع زوایای خارجی هر چندضلعی همیشه \( 360 \) درجه است، بدون توجه به تعداد اضلاع.
- مجموع زوایای داخلی یک \( n \) ضلعی برابر است با \( (n-2) \times 180 \).
3. **نسبت مجموع زوایا:**
- طبق سوال، نسبت مجموع زوایای داخلی به خارجی \( 7 به 2 \) است.
با توجه به این موارد، ابتدا با استفاده از نسبت زوایایی که داده شده میتوانیم تعداد اضلاع را تعیین کنیم:
\[
\frac{(n-2) \times 180}{360} = \frac{7}{2}
\]
\[
(n-2) \times 180 = 1260
\]
\[
n-2 = 7
\]
\[
n = 9
\]
بنابراین، چندضلعی داده شده یک 9 ضلعی منتظم است.
### نتیجهگیری:
محیط یک 9 ضلعی منتظم نسبت به 9 ضلعی دوم رابطه \( \frac{3}{5} \) دارد و \( n \) ضلعی مورد نظر یک 9 ضلعی است.
