برای محاسبه انتگرال \(\int x \cdot e^x \, dx\)، از روش جزء به جزء استفاده میکنیم. فرمول انتگرالگیری جزء به جزء به صورت زیر است:
\[
\int u \, dv = uv - \int v \, du
\]
در اینجا میتوانیم انتخاب کنیم:
- \(u = x\) \(\Rightarrow\) \(du = dx\)
- \(dv = e^x \, dx\) \(\Rightarrow\) \(v = e^x\)
حالا فرمول را اعمال میکنیم:
\[
\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - \int e^x \, dx
\]
انتگرال \(\int e^x \, dx\) برابر با \(e^x\) است، بنابراین:
\[
\int x \cdot e^x \, dx = x \cdot e^x - e^x + C
\]
که \(C\) ثابت انتگرالگیری است. لذا پاسخ نهایی به صورت زیر خواهد بود:
\[
\int x \cdot e^x \, dx = e^x (x - 1) + C
\]