محیط یک لوزی ۴۰ و قطر بزرگ آن ۱۶ است. مساحت لوزی کدام است؟

برای محاسبه مساحت یک لوزی، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم: \[ \text{مساحت} = \frac{d_1 \times d_2}{2} \] که در آن \( d_1 \) و \( d_2 \) به ترتیب طول‌های دو قطر لوزی هستند. در این سوال، ما فقط قطر بزرگ \( d_1 = 16 \) را داریم و برای پیدا کردن \( d_2 \) (قطر کوچک) نیاز داریم که از اطلاعات دیگری نیز استفاده کنیم. همچنین می‌دانیم که محیط لوزی از فرمول زیر محاسبه می‌شود: \[ \text{محیط} = 4 \times a \] که در آن \( a \) طول هر ضلع لوزی است. با توجه به محیط داده‌شده (۴۰): \[ 40 = 4 \times a \] با تقسیم کردن دو طرف معادله بر 4، طول هر ضلع لوزی را پیدا می‌کنیم: \[ a = \frac{40}{4} = 10 \] حالا برای محاسبه قطر کوچک (\( d_2 \)) به استفاده از رابطه‌ای در مثلث قائم‌الزاویه ایجاد شده در لوزی می‌پردازیم. در یک لوزی، قطرها به یکدیگر عمود هستند و هر یک از اضلاع لوزی، نصف طول قطرها را به عنوان ارتفاع مثلث قائم‌الزاویه در نظر می‌گیرد. از آنجایی که: \[ a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] جایگذاری مقدار \( a \) و \( d_1 \): \[ 10^2 = \left(\frac{16}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] محاسبه می‌کنیم: \[ 100 = 8^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ 100 = 64 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 \] \[ \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 100 - 64 = 36 \] حالا مربع ریشه می‌گیریم: \[ \frac{d_2}{2} = 6 \] بنابراین: \[ d_2 = 2 \times 6 = 12 \] حالا که هر دو قطر \( d_1 \) و \( d_2 \) را داریم، می‌توانیم مساحت لوزی را محاسبه کنیم: \[ \text{مساحت} = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{16 \times 12}{2} = \frac{192}{2} = 96 \] پس، مساحت لوزی برابر با \( 96 \) است.