اینو توضیح کامل بدین لطفا
نمایش کامل متن تصویر (کلیک کنید)
فرض کنیم استوانه مورد نظر دارای شعاع قاعده r و ارتفاع h باشد. اگر O مرکز کره باشد، در مثلث قائم‌الزاویه OAB، OB = h/2 و داریم: AB^2 + OB^2 = OA^2 بنابراین r^2 + h^2/4 = R^2 حجم این استوانه برابر است با: V = pi r^2 h = pi (R^2 - h^2/4) h => V(h) = pi R^2 h - (pi/4) h^3 ; 0 <= h <= 2R برای یافتن نقاط بحرانی این تابع در بازه [0, 2R]، ریشه‌های مشتق را به دست می‌آوریم: V'(h) = pi R^2 - (3pi/4) h^2 = 0 => h = 2R / sqrt(3) از طرفی V(0) = 0 و V(2R) = 0 بنابراین تابع V به ازای h = 2R / sqrt(3) بیشترین مقدار حجم را دارد. با توجه به اینکه r^2 = R^2 - h^2/4، مقدار r برابر با sqrt(2)R / sqrt(3) می‌باشد.
[شکل: استوانه محاط در کره + برچسب‌های O، R، r، A، B]
![فرض کنیم استوانه مورد نظر دارای شعاع قاعده r و ارتفاع h باشد. اگر O مرکز کره باشد، در مثلث قائم‌الزاویه OAB، OB = h/2 و داریم: AB^2 + OB^2 = OA^2 بنابراین r^2 + h^2/4 = R^2 حجم این استوانه برابر است با: V = pi r^2 h = pi (R^2 - h^2/4) h => V(h) = pi R^2 h - (pi/4) h^3 ; 0 <= h <= 2R برای یافتن نقاط بحرانی این تابع در بازه [0, 2R]، ریشه‌های مشتق را به دست می‌آوریم: V'(h) = pi R^2 - (3pi/4) h^2 = 0 => h = 2R / sqrt(3) از طرفی V(0) = 0 و V(2R) = 0 بنابراین تابع V به ازای h = 2R / sqrt(3) بیشترین مقدار حجم را دارد. با توجه به اینکه r^2 = R^2 - h^2/4، مقدار r برابر با sqrt(2)R / sqrt(3) می‌باشد.
[شکل: استوانه محاط در کره + برچسب‌های O، R، r، A، B]](https://services.porsan.app/files//Question/210762.jpg)
