برای حل سوال شماره 61:
فرض کنید:
\[ A = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \ldots + \frac{1}{9 \times 10} \]
و
\[ B = \frac{1}{1 \times 3} + \frac{1}{3 \times 5} + \ldots + \frac{1}{9 \times 11} \]
اگر به هر یک از اجزای عبارات نگاه کنیم، میتوان آنها را به صورت تفاضل نوشت:
\[ \frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \]
\[ \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \]
با این فرمولها، مجموعها به صورت تلسکوپی ساده میشوند:
برای \( A \):
\[ A = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{10} \right) \]
\[
= 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}
\]
برای \( B \):
\[ B = \frac{1}{2} \left( \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{11} \right) \right) \]
\[
= \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{11} \right) = \frac{1}{2} \times \frac{10}{11} = \frac{5}{11}
\]
حال، \( A \times B \) برابر است با:
\[ A \times B = \frac{9}{10} \times \frac{5}{11} = \frac{45}{110} = \frac{9}{22} \]
پاسخ صحیح گزینه (4) است: \(\frac{9}{22}\)
