اینارو حل کنین

برای حل مسئله، ابتدا به محاسبه حد‌های داده شده می‌پردازیم: الف) \(\lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{1 - \sin x}{1 - \sin^2 x}\) ابتدا به صورت عبارت مخرج نگاه می‌کنیم: \(1 - \sin^2 x = \cos^2 x\) بنابراین: \[ \lim_{{x \to \frac{\pi}{2}}} \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} \] همانطور که \(x\) به \(\frac{\pi}{2}\) نزدیک می‌شود، \(\sin x\) به 1 نزدیک می‌شود و \(\cos x\) به 0 نزدیک می‌شود. بیایید از تغییر متغیر استفاده کنیم. اگر \(x = \frac{\pi}{2} - t\)، پس وقتی \(x \to \frac{\pi}{2}\)، \(t \to 0\). بنابراین داریم: \[ \sin x = \sin(\frac{\pi}{2} - t) = \cos t \approx 1 - \frac{t^2}{2} \] و \[ \cos x = \sin t \approx t \] پس حد به شکل زیر ساده می‌شود: \[ \lim_{{t \to 0}} \frac{1 - (1 - \frac{t^2}{2})}{t^2} = \lim_{{t \to 0}} \frac{\frac{t^2}{2}}{t^2} = \frac{1}{2} \] ب) \( \lim_{{x \to 0}} ([2x] + \cos x)\) عملگر براکت به معنای جزء صحیح است. برای \(x\) نزدیک به 0، \([2x]\) برابر 0 است و \(\cos x\) به 1 نزدیک می‌شود. بنابراین: \[ \lim_{{x \to 0}} ([2x] + \cos x) = 0 + 1 = 1 \] بنابراین، مقدار مورد نظر برابر است با \(1\). پ) حد تابع (پ) مشخص نشده است و برای پاسخ دادن به آن باید اطلاعات بیشتری داشته باشیم.