برای بررسی درستی تساوی \( \cos^5 a - \sin^5 a = 2 \cos^3 a - 1 \)، از اتحادهای مثلثاتی استفاده میکنیم.
ابتدا از اتحاد \((\cos^2 a + \sin^2 a = 1)\) استفاده نمیکنیم، بلکه مستقیم دو طرف تساوی را بررسی میکنیم.
۱. فرض کنیم که تساوی درست است. در این صورت باید:
\[
\cos^5 a - \sin^5 a - 2 \cos^3 a + 1 = 0
\]
۲. میتوانیم ابتدا \((\cos^5 a - \sin^5 a)\) را به شکل زیر بنویسیم:
\[
(\cos a - \sin a)(\cos^4 a + \cos^3 a \sin a + \cos^2 a \sin^2 a + \cos a \sin^3 a + \sin^4 a)
\]
۳. بنابراین، تساوی اصلی میتواند به صورت زیر نیز بیان شود:
\[
(\cos a - \sin a)(\cos^4 a + \cos^3 a \sin a + \cos^2 a \sin^2 a + \cos a \sin^3 a + \sin^4 a) = 2 \cos^3 a - 1
\]
۴. برای مثال، در حالت خاص \( a = 0 \)، با قراردادن در هر دو طرف، خواهیم داشت:
- سمت چپ: \( \cos^5(0) - \sin^5(0) = 1 - 0 = 1 \)
- سمت راست: \( 2 \cdot 1^3 - 1 = 1 \)
پس در این حالت خاص همارزی برقرار است، اما باید بررسی شود که آیا برای همه مقادیر \( a \) این تساوی درست است یا خیر.
اگر در حل مسئله با روشهای تحلیلی پیچیده مشکل دارید، میتوانید از راههای محاسباتی یا موارد خاص مانند \( a = 0 \) یا \( a = \frac{\pi}{2} \) برای بررسی استفاده کنید.
