سوال ۴:
برای پیدا کردن بیشترین مقدار \( x + 2y \) تحت شرط \( x + y = 10 \)، می‌توانیم \( y \) را در \( y = 10 - x \) قرار دهیم و سپس عبارت مورد نظر را به صورت تابعی از \( x \) بنویسیم:
\[
x + 2y = x + 2(10 - x) = x + 20 - 2x = 20 - x
\]
حال برای بیشترین مقدار، \( x \) باید کمترین مقدار ممکن، و چون \( x + y = 10 \) و هر دو عدد واقعی و مثبت هستند، پس کمترین مقدار \( x \) برابر ۰ خواهد بود. بنابراین:
\[
x + 2y = 20 - 0 = 20
\]
پس بیشترین مقدار \( x + 2y = 20 \) است.
سوال ۵:
ما تابع \( f(x) = mx + n \) را داریم و می‌دانیم:
1. \( f(1) = 4 \)
2. \( f(2) = 7 \)
ابتدا این دو معادله را تشکیل می‌دهیم:
\[
\begin{cases}
m \cdot 1 + n = 4 \m \cdot 2 + n = 7
\end{cases}
\]
حال معادله اول:
\[
m + n = 4
\]
و معادله دوم:
\[
2m + n = 7
\]
با حل این دستگاه معادلات:
معادله اول را از معادله دوم کم می‌کنیم:
\[
(2m + n) - (m + n) = 7 - 4 \implies m = 3
\]
حال \( m \) را در معادله اول قرار می‌دهیم:
\[
3 + n = 4 \implies n = 1
\]
بنابراین مقادیر \( m \) و \( n \) به صورت زیر است:
\[
m = 3, \quad n = 1
\]
