برای حل این سؤال، ابتدا باید تابع ترکیبی \( f \circ g \) را پیدا کنیم و سپس دامنه آن را تعیین کنیم.
**مرحله اول: تشکیل تابع ترکیبی \( f \circ g \)**
تابع \( g(x) = x^2 + 3 \) و تابع \( f(x) = \frac{1}{x-3} \) داده شدهاند. پس داریم:
\[
f(g(x)) = f(x^2 + 3) = \frac{1}{(x^2 + 3) - 3} = \frac{1}{x^2}
\]
**مرحله دوم: تعیین دامنه \( f \circ g \)**
ابتدا باید دامنه تابع \( g(x) \) و سپس شرایطی که باید برای تابع \( f \) برقرار باشد را بررسی کنیم.
1. دامنه تابع \( g(x) \) تمامی مقادیر حقیقی \( x \) است زیرا هیچ محدودیتی برای مقادیر \( x \) وجود ندارد.
2. برای این که تابع \( f(g(x)) \) موجود باشد، مخرج کسر نباید صفر شود. یعنی:
\[
x^2 \neq 0
\]
این شرط به این معناست که:
\[
x \neq 0
\]
بنابراین، دامنه تابع \( f \circ g \) شامل تمامی اعداد حقیقی به جز \( x = 0 \) است.
پس دامنه \( f \circ g \) برابر است با:
\[
\mathbb{R} - \{0\}
\]
این پاسخ نهایی برای دامنه تابع ترکیبی \( f \circ g \) است.
