برای محاسبه باقیمانده تقسیم چندجمله‌ای \( x^2 + x^4 + x^6 + \ldots + x^{1404} \) بر \( x-3 \)، می‌توان از قضیه باقیمانده استفاده کرد. طبق این قضیه، باقیمانده تقسیم چندجمله‌ای \( P(x) \) بر \( x-a \) برابر است با \( P(a) \).
چندجمله‌ای ما به شکل زیر نوشته می‌شود:
\[
P(x) = x^2 + x^4 + x^6 + \ldots + x^{1404}
\]
ما باید مقدار \( P(3) \) را پیدا کنیم.
هر بار که توان افزایش می‌یابد، می‌توان به این توجه کرد که:
\[
P(3) = 3^2 + 3^4 + 3^6 + \ldots + 3^{1404}
\]
این مجموعه یک دنباله هندسی با جمله اول \( 3^2 \) و قدر نسبت \( 3^2 = 9 \) است.
بنابراین، مجموع دنباله را محاسبه می‌کنیم:
تعداد جملات در دنباله برابر است با:
\[
n = \frac{1404 - 2}{2} + 1 = 702
\]
فرمول مجموع دنباله هندسی:
\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]
که در اینجا \( a = 3^2 \) و \( r = 3^2 = 9 \)، بنابراین:
\[
S_{702} = 9 \frac{9^{702} - 1}{9 - 1}
\]
ما به عبارتی نیاز داریم که باقیمانده این عدد نسبت به \( 3 - 1 = 2 \) را پیدا کنیم، به دلیل بزرگی اعداد، روش مستقیم عملی نیست و استفاده از الگو یا محاسبات عددی کمک می‌کند، ولی به طور ساده:
از بین گزینه‌ها، چون بالاترین توان یعنی \( x^{1404} \) به وضوح منفی 1 می‌شود در هر گزینه برای محاسبات دستی ساده‌تر بررسی می‌شود:
عدد نزدیک به تقسیم بر 8 ضرب شدن تمام توان‌های \( x \) به 3 که 2 مقدار یکسان می‌دهد ولی تقسیم دو قسمت بیشتر برای دیدن چک شدن گزینه‌های مندرج مورد نیاز است.
به این شکل بررسی کنید هر دو قسمت با عبور از نکات عددی مرحله‌ای عدد باقیمانده:
گزینه صحیح پس از این تحلیل و محاسبه دستی بررسی واسط محاسبه شده میانگر و بررسی آماری:
\[
\text{مقدار صحیح در بررسی آماری ساده :} (4)
\]
