چند جمله ای درجه دومy=(m_1)x²_۴(m_1)x+۴m+n همواره منفی است مقدار n چند است؟

برای اینکه یک چند جمله‌ای درجه دوم همواره منفی باشد، ضرایب باید به گونه‌ای باشند که نمودار آن بدون در نظر گرفتن محور افقی (بدون تقاطع) در زیر محور y باشد. معادله مورد نظر شما به صورت زیر است: \[ y = m_1 x^2 - 4(m_1)x + 4m + n \] به شکل عمومی معادله یک چند جمله‌ای درجه دوم به صورت زیر است: \[ y = ax^2 + bx + c \] که در آن: - \( a = m_1 \) - \( b = -4m_1 \) - \( c = 4m + n \) شرط اساسی این است که: 1. \( a > 0 \) (به این معنا که ضریب \( x^2 \) مثبت باشد، در غیر این صورت نمودار به سمت بالا نمی‌رود) 2. دلتا (معادله تعیین‌کننده وجود ریشه) باید منفی باشد: \[ \Delta = b^2 - 4ac < 0 \] با قرار دادن مقادیر \( a \)، \( b \) و \( c \): \[ \Delta = (-4m_1)^2 - 4(m_1)(4m+n) < 0 \] که به سادگی به شکل زیر تبدیل می‌شود: \[ 16m_1^2 - 4m_1(4m + n) < 0 \] حال، این را ساده می‌کنیم: \[ 16m_1^2 - 16m_1m - 4m_1n < 0 \] این معادله را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد: \[ 4m_1(4m_1 - 4m - n) < 0 \] برای بررسی شرایط این معادله، چون \( m_1 \) باید مثبت باشد، شرط زیر ایجاد می‌شود: \[ 4m_1 - 4m - n < 0 \] که عبارت بالا ما را به این نتیجه می‌رساند: \[ n > 4m_1 - 4m \] پس مقدار \( n \) باید بیشتر از \( 4m_1 - 4m \) باشد تا چند جمله‌ای همواره منفی بماند. بنابراین، برای مقادیر خاص \( m_1 \) و \( m \) می‌توانید مقدار دقیق \( n \) را پیدا کنید.