برای حل این سوال، ابتدا نگاهی به معادله داده شده می‌اندازیم: معادله سهمی: \( y = -mx^2 + mx + 1 \) معادله خط: \( y = -m - x \) برای پیدا کردن تعداد نقاط مشترک بین سهمی و خط، باید دو معادله را برابر قرار دهیم و معادله را حل کنیم: \[ -mx^2 + mx + 1 = -m - x \] حال معادله را به شکل استاندارد درآوریم: \[ -mx^2 + (m+1)x + (1+m) = 0 \] برای بررسی تعداد ریشه‌های این معادله درجه دوم، باید Δ (دلتا) را بررسی کنیم. فرمول Δ برای یک معادله درجه دوم \( ax^2 + bx + c = 0 \) به شکل زیر است: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] با جایگذاری در فرمول: \[ \Delta = (m+1)^2 - 4(-m)(1+m) \] محاسبه‌ی Δ: \[ \Delta = (m+1)^2 + 4m(1+m) \] \[ \Delta = m^2 + 2m + 1 + 4m + 4m^2 \] \[ \Delta = 5m^2 + 6m + 1 \] حال شرایط برای تعداد ریشه‌ها: 1. **اگر Δ > 0**: دو ریشه حقیقی متمایز (دو نقطه مشترک) 2. **اگر Δ = 0**: یک ریشه حقیقی دوگانه (یک نقطه مشترک) 3. **اگر Δ < 0**: بدون ریشه حقیقی (هیچ نقطه مشترکی) پس بررسی کنیم برای چه مقادیری از \( m \)، Δ صفر می‌شود: \[ 5m^2 + 6m + 1 = 0 \] حل این معادله درجه دوم (مثلاً با روش مربع کامل) مشخص‌کننده مقادیر \( m \) است که موجب هم‌خطی سهمی و خط می‌شود: با استفاده از فرمول حل معادله درجه دو: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] در اینجا \( a = 5 \)، \( b = 6 \) و \( c = 1 \): رادیکال محاسبه می‌کنیم: \[ b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \times 5 \times 1 = 36 - 20 = 16 \] بنابراین: \[ m = \frac{-6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{-6 \pm 4}{10} \] دو مقدار ممکن \( m \): \[ m_1 = \frac{-2}{10} = -0.2 \quad \text{(Invalid, not an integer)} \] \[ m_2 = \frac{-10}{10} = -1 \quad \text{(Valid)} \] با حل این محاسبات، می‌بینم که همانطور که در سوال توضیح داده شده است، برای \( m = -1 \) ریشه‌ها با هم تلاقی دارند و دلیل وجود این مقدار است که موجب هم‌پوشانی نقاط بین سهمی و خط می‌شود. روس تنظیمات دیگر این شروط که موجب همپوشانی می‌شود ممکن است در سوال بعدی با شما به اشتراک گذاشته شود. بنابراین تنها مقدار صحیح دیگر \( m \) که موجب هم‌راستایی سهمی و خط می‌شود، وجود ندارد. جواب نهایی: 2