سوال:
یه متحرک از نقطهی A به B میره تو ۱۰ ثانیه. شعاع دایره هم ۴ متره. نسبت تندی متوسط به تندی ثابت چنده؟
جواب:
اول باید ببینیم متحرک چه مسافتی رو رفته. چون زاویه روبهروی کمان AB، ۹۰ درجهست، پس کمان AB، یه ربع دایرهست.
محیط دایره میشه:
محیط = ۲ * پی * شعاع = ۲ * پی * ۴ = ۸پی
حالا طول کمان AB (یه ربع دایره):
طول کمان AB = محیط / ۴ = ۸پی / ۴ = ۲پی
خب، حالا که طول کمان رو داریم، میتونیم تندی متوسط رو حساب کنیم:
تندی متوسط = مسافت / زمان = ۲پی / ۱۰ = پی / ۵
حالا باید جابهجایی رو حساب کنیم. جابهجایی، خط مستقیم بین A و B هست. چون زاویه ۹۰ درجه داریم، میتونیم از قضیه فیثاغورس استفاده کنیم:
AB^۲ = ۴^۲ + ۴^۲ = ۱۶ + ۱۶ = ۳۲
AB = رادیکال(۳۲) = ۴رادیکال(۲)
تندی ثابت میشه:
تندی ثابت = جابهجایی / زمان = ۴رادیکال(۲) / ۱۰ = ۲رادیکال(۲) / ۵
حالا نسبت تندی متوسط به تندی ثابت:
نسبت = (پی / ۵) / (۲رادیکال(۲) / ۵) = پی / (۲رادیکال(۲))
برای سادهتر کردن، صورت و مخرج رو در رادیکال(۲) ضرب میکنیم:
نسبت = (پی * رادیکال(۲)) / (۲ * ۲) = (پی * رادیکال(۲)) / ۴
تقریباً میشه:
نسبت ≈ (۳.۱۴ * ۱.۴۱) / ۴ ≈ ۴.۴۲ / ۴ ≈ ۱.۱
ولی خب، تو گزینهها این عدد نیست. 🤔 یه بار دیگه حساب کنیم.
اشتباه محاسباتی داشتم. نسبت تندی متوسط به تندی ثابت میشه:
نسبت = (تندی متوسط) / (تندی ثابت) = (پی/۵) / (۲√۲ / ۵) = پی / (۲√۲)
اگه پی رو تقریباً ۳ در نظر بگیریم:
نسبت ≈ ۳ / (۲√۲) ≈ ۳ / (۲ * ۱.۴) ≈ ۳ / ۲.۸ ≈ ۱.۰۷
بازم تو گزینهها نیست! احتمالاً یه چیزی رو اشتباه برداشت کردم. 🤔
یه نکته: تو سوال گفته “تندی متوسط” و “تندی ثابت”. اگه منظور از “تندی ثابت” همون “اندازه سرعت متوسط” باشه، جواب میشه:
نسبت = π / (۲√۲)
حالا اگه تو گزینهها همچین چیزی باشه، درسته. اگر نه، احتمالاً یه جای کار مشکل داره. میشه بگی گزینهها چی بودن؟
