برای حل معادله \((x + \frac{1}{x})^2 + 3(x + \frac{1}{x}) + 2 = 0\)، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. تغییر متغیر:
بگذارید \(y = x + \frac{1}{x}\). بنابراین معادله به صورت زیر تبدیل میشود:
\[ y^2 + 3y + 2 = 0 \]
2. حل معادله درجه دوم:
این یک معادله درجه دوم استاندارد در قالب \(ay^2 + by + c = 0\) است که در آن \(a = 1\)، \(b = 3\)، و \(c = 2\).
از فرمول مربع کامل یا فرمول حل معادله درجه دو استفاده میکنیم:
\[ y = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \]
ابتدا دلتا را حساب میکنیم:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1 \]
سپس ریشهها را حساب میکنیم:
\[ y = \frac{{-3 \pm \sqrt{1}}}{2 \cdot 1} = \frac{{-3 \pm 1}}{2} \]
\[ y_1 = \frac{{-3 + 1}}{2} = -1 \]
\[ y_2 = \frac{{-3 - 1}}{2} = -2 \]
3. رابطه با \(x\):
\[ x + \frac{1}{x} = -1 \] یا \[ x + \frac{1}{x} = -2 \]
- برای \(y = -1\)، باید \(x + \frac{1}{x} = -1\) را حل کنیم:
فرض کنید \(t = x\). داریم:
\[ t^2 + t + 1 = 0 \]
این معادله ریشه حقیقی ندارد زیرا \(\Delta = 1 - 4 = -3\).
- برای \(y = -2\)، باید \(x + \frac{1}{x} = -2\) را حل کنیم:
\[ t^2 + 2t + 1 = 0 \]
\((t+1)^2 = 0\)
پس \(t = -1\).
بنابراین \(x = -1\).
پاسخ نهایی: \(x = -1\) با فرض \(t = x\).
