برای حل این معادله که در آن کسینوس زاویه \( \alpha \) برابر با \( 3m - \frac{1}{2} \) داده شده است، نخست باید محدوده‌های کسینوس را در نظر بگیریم.
1. **محدوده کسینوس:** مقدار کسینوس هر زاویه‌ای بین -1 و 1 قرار دارد. بنابراین:
\[
-1 \leq 3m - \frac{1}{2} \leq 1
\]
2. **حل نامساوی‌ها:**
- ابتدا از نامساوی اول شروع می‌کنیم:
\[
-1 \leq 3m - \frac{1}{2}
\]
با اضافه کردن \( \frac{1}{2} \) به هر دو طرف:
\[
-1 + \frac{1}{2} \leq 3m
\]
که برابر خواهد بود با:
\[
-\frac{1}{2} \leq 3m
\]
حالا با تقسیم هر دو طرف بر 3:
\[
-\frac{1}{6} \leq m
\]
- حالا به نامساوی دوم می‌پردازیم:
\[
3m - \frac{1}{2} \leq 1
\]
با اضافه کردن \( \frac{1}{2} \) به هر دو طرف:
\[
3m \leq 1 + \frac{1}{2}
\]
که برابر است با:
\[
3m \leq \frac{3}{2}
\]
حالا با تقسیم هر دو طرف بر 3:
\[
m \leq \frac{1}{2}
\]
3. **جمع‌بندی نتایج:**
با ترکیب دو نامساوی به دست آمده:
\[
-\frac{1}{6} \leq m \leq \frac{1}{2}
\]
بنابراین، محدوده‌ی تقریبی \( m \) به صورت زیر است:
\[
m \in \left[-\frac{1}{6}, \frac{1}{2}\right]
\]
این محدوده مقادیر مجاز \( m \) را طبق شرایط کسینوس تعیین می‌کند.
