برای این که منحنی معادله \( y = (m + 2)2x^2 - 2x + 1 \) از چهار ناحیهی محور مختصات بگذرد، باید تعداد ریشههای این معادله برابر با 4 باشد. این موضوع به این معناست که معادله باید بیش از یک بار محور x را قطع کند، یعنی دو نقطه تقاطع در بالای محور x و دو نقطه تقاطع دیگر در پایین آن وجود داشته باشد.
### مراحل حل:
1. **فرم معادله را بنویسید:**
معادله به فرم \( ax^2 + bx + c = 0 \) است که در آن:
- \( a = 2(m + 2) \)
- \( b = -2 \)
- \( c = 1 \)
2. **شرط برای وجود 4 ریشه:**
برای این که معادله دارای 4 ریشه باشد، لازم است که \( a \) (که برابر با \( 2(m + 2) \) است) مثبت باشد و دلتای معادله (Δ) منفی باشد.
3. **محاسبه دلتای معادله:**
دلتای معادله به صورت زیر محاسبه میشود:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 2(m + 2) \cdot 1
\]
\[
\Delta = 4 - 8(m + 2)
\]
\[
\Delta = 4 - 8m - 16 = -8m - 12
\]
4. **شرط برای Δ:**
برای این که منحنی از 4 ناحیه ی محور مختصات عبور کند، باید:
\[
\Delta < 0
\]
بنابراین:
\[
-8m - 12 < 0
\]
\[
-8m < 12 \quad \Rightarrow \quad m > -\frac{3}{2}
\]
5. **شرط برای مثبت بودن `a`:**
همچنین باید \( a > 0 \) باشد:
\[
2(m + 2) > 0
\]
\[
m + 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad m > -2
\]
### نتیجهگیری:
برای اینکه منحنی از چهار ناحیهی محور مختصات بگذرد، باید هر دو شرط زیر برقرار باشد:
1. \( m > -2 \)
2. \( m > -\frac{3}{2} \)
در نتیجه، برای اینکه هر دو شرط برقرار باشد، نتیجه میگیریم که:
\[
m > -\frac{3}{2}
\]
بنابراین، مقادیر m که باعث میشود منحنی از چهار ناحیهی محور مختصات عبور کند، مقادیر بزرگتر از \(-\frac{3}{2}\) هستند.
