اگر محیط یک مستطیل ۲۰ سانتی‌متر باشد، طول و عرض مستطیل را طوری حساب کنید که مساحت آن ماکزیمم شود.

اگر نقطه $(1, 2)$ نقطه ماکزیمم نسبی تابع $f(x) = x^3 + ax + b$ باشد، مقادیر $a$ و $b$ را به دست آورید.

می‌خواهیم از گوشه‌های یک صفحه مربع شکل به ضلع $60$ سانتی‌متر، چهار مربع کوچک به ضلع $x$ ببریم و پس از تا کردن کناره صفحه، آن را به شکل یک جعبه در باز به شکل مکعب مستطیل درآوریم. ماکزیمم حجم جعبه‌ای که می‌توانیم بسازیم، چه قدر است؟

تابع $f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 1 & x \geq 2 \\ x^3 & x < 2 \end{cases}$ مفروض است. اگر این تابع در نقطه $x = 2$ مشتق‌پذیر باشد، اعداد ثابت $a$ و $b$ را به دست آورید.