الف) برای گویاسازی \( \frac{1}{\sqrt{7} - 2} \)، صورت و مخرج کسر را در مزدوج مخرج ضرب میکنیم:
مزدوج \( \sqrt{7} - 2 \) برابر است با \( \sqrt{7} + 2 \).
بنابراین داریم:
\[
\frac{1}{\sqrt{7} - 2} \times \frac{\sqrt{7} + 2}{\sqrt{7} + 2} = \frac{\sqrt{7} + 2}{(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2)}
\]
طبق فرمول اتحاد مزدوج:
\[
(\sqrt{7} - 2)(\sqrt{7} + 2) = (\sqrt{7})^2 - (2)^2 = 7 - 4 = 3
\]
بنابراین کسر به صورت گویاتر برابر است با:
\[
\frac{\sqrt{7} + 2}{3}
\]
ب) برای محاسبه عبارت \((2x - 1)^3\)، از اتحاد مکعب دو جملهای استفاده میکنیم:
\[
(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3
\]
در اینجا \( a = 2x \) و \( b = 1 \) است:
\[
(2x - 1)^3 = (2x)^3 - 3(2x)^2(1) + 3(2x)(1)^2 - 1^3
\]
\[
= 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1
\]
بنابراین حاصل عبارت \( (2x - 1)^3 \) برابر است با:
\[ 8x^3 - 12x^2 + 6x - 1 \]
