برای پیدا کردن تعداد شمارندههای عدد ۲۰۰ که بر ۴ بخشپذیرند، ابتدا باید شمارندههای عدد ۲۰۰ را پیدا کنیم. سپس بررسی میکنیم کدامیک از آنها بر ۴ بخشپذیرند.
1. **محاسبه شمارندههای عدد ۲۰۰**:
- ابتدا عدد ۲۰۰ را به عوامل اولش تجزیه میکنیم:
\[
200 = 2^3 \times 5^2
\]
2. **استفاده از فرمول شمارندهها**:
- برای محاسبه تعداد شمارندههای یک عدد میتوان از فرمول زیر استفاده کرد:
\[
(e_1 + 1)(e_2 + 1) \ldots (e_n + 1)
\]
که در آن \(e_i\) توانهای عوامل اول هستند.
- برای عدد ۲۰۰:
- توان ۲: \(3\) (که به صورت \(e_1\) در فرمول قرار میگیرد)
- توان ۵: \(2\) (که به صورت \(e_2\) قرار میگیرد)
- پس تعداد شمارندههای ۲۰۰ به صورت زیر است:
\[
(3 + 1)(2 + 1) = 4 \times 3 = 12
\]
این بدان معناست که عدد ۲۰۰ در مجموع ۱۲ شمارنده دارد.
3. **شمارندههای عدد ۲۰۰ و بررسی بخشپذیری بر ۴**:
- برای اینکه یک شمارنده بر ۴ بخشپذیر باشد، باید حداقل شامل دو عدد ۲ باشد (زیرا \(4 = 2^2\)).
- از تجزیه عدد ۲۰۰ میبینیم که دارای ۳ عدد ۲ است.
4. **محاسبه شمارندههای بخشپذیر بر ۴**:
- برای شمارندههایی که شامل حداقل دو عدد ۲ هستند، میتوان از دو حالت زیر استفاده کرد:
- از \(2^2\) تا \(2^3\): \(2^2\) یا \(2^3\)
- برای توان ۵، میتوان ۰ تا ۲ که به صورت \(5^0\)، \(5^1\)، یا \(5^2\) میباشد را انتخاب کرد.
5. **محاسبه نهایی**:
- تعداد حالتهای ممکن برای ۲: ۲ حالت (۲ و ۳)
- تعداد حالتهای ممکن برای ۵: ۳ حالت (۰، ۱ و ۲)
پس تعداد شمارندههای عدد ۲۰۰ که بر ۴ بخشپذیرند:
\[
2 \times 3 = 6
\]
بنابراین شمارندههای عدد ۲۰۰ که بر ۴ بخشپذیرند، تعدادشان **۶** است.
