اگر شعاع قاعده و ارتفاع مخروط A به ترتیب یک چهارم و دوازده برابر شعاع قاعده و ارتفاع B است. حجم مخروط B چند برابر حجم مخروط A است؟

برای حل این مسئله ابتدا باید فرمول حجم مخروط را بدانیم. حجم مخروط با فرمول زیر محاسبه می‌شود: \[ V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] که در اینجا \( r \) شعاع قاعده و \( h \) ارتفاع مخروط است. حال ما دو مخروط A و B داریم که شعاع و ارتفاع آنها به شرح زیر است: - برای مخروط A: - شعاع قاعده: \( r_A = \frac{1}{4} r_B \) - ارتفاع: \( h_A = 12 h_B \) حال می‌خواهیم حجم هر یک از مخروط‌ها را حساب کنیم. 1. **حجم مخروط A**: \[ V_A = \frac{1}{3} \pi r_A^2 h_A \] جایگذاری شعاع و ارتفاع مخروط A: \[ V_A = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{4} r_B\right)^2 (12 h_B) \] حجم A را ساده می‌کنیم: \[ V_A = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{1}{16} r_B^2\right) (12 h_B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{16} \pi r_B^2 h_B = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \pi r_B^2 h_B = \frac{1}{4} \pi r_B^2 h_B \] 2. **حجم مخروط B**: \[ V_B = \frac{1}{3} \pi r_B^2 h_B \] 3. **نسبت حجم مخروط A به حجم مخروط B**: برای اینکه بدانیم حجم مخروط B چند برابر حجم مخروط A است، نسبت آن‌ها را محاسبه می‌کنیم: \[ \frac{V_B}{V_A} = \frac{\frac{1}{3} \pi r_B^2 h_B}{\frac{1}{4} \pi r_B^2 h_B} \] با ساده‌سازی این معادله (چون \( \pi r_B^2 h_B \) در هر دو سر یکسان است): \[ \frac{V_B}{V_A} = \frac{1/3}{1/4} = \frac{4}{3} \] 4. **نتیجه**: پس، حجم مخروط B برابر است با \( \frac{4}{3} \) برابر حجم مخروط A. بنابراین، حجم مخروط B دوازده دهم (یا معروف به 4/3) برابر حجم مخروط A است.