برای حل سوال از اتحادهای زیر استفاده میکنیم:
۱. اتحاد مربع دوجملهای: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
۲. اتحاد مزدوج: \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\)
حال به بررسی هر گزینه میپردازیم:
الف) \( (2x - 5y)^2 \)
با استفاده از اتحاد مربع دوجملهای:
\[
(2x - 5y)^2 = (2x)^2 - 2 \times (2x) \times (5y) + (5y)^2 = 4x^2 - 20xy + 25y^2
\]
ب) \((2a - 2)(2 + 5a)\)
این عبارت به شکل (a-b)(a+b) نیست، بنابراین ابتدا به صورت زیر ساده میکنیم:
\[
= 2(2a - 1)(1 + 5a)
\]
و سپس محاسبه میکنیم:
\[
= 2 \times 2a - 1
\]
ج) \( (x - 5)(x + 5) \)
با استفاده از اتحاد مزدوج:
\[
(x - 5)(x + 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25
\]
د) \( (x + 2)(x - 2)(x^2 + 4) \)
ابتدا از اتحاد مزدوج برای دو عبارت اول استفاده میکنیم:
\[
(x + 2)(x - 2) = x^2 - 4
\]
سپس حاصل را با عبارت سوم ضرب میکنیم:
\[
(x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x^2)^2 - (4)^2 = x^4 - 16
\]
بنابراین پاسخهای نهایی عبارتند از:
الف) \(4x^2 - 20xy + 25y^2\)
ج) \(x^2 - 25\)
د) \(x^4 - 16\)
