دو ایزوتوپ پرتوزا با نیم عمر های ۴و۶ماه موجود است. اگر پس از یک سال، تعداد هسته های متلاشی شده این دو ایزوتوپ با هم برابر باشند، نسبت تعداد هسته های اولیه این دو ایزوتوپ کدام است

برای حل این سوال، ابتدا باید تعداد هسته‌های باقی‌مانده بعد از یک سال (۱۲ ماه) را برای هر دو ایزوتوپ حساب کنیم و سپس از طریق آن، نسبت تعداد اولیه هسته‌های این دو ایزوتوپ را پیدا کنیم. ### ایزوتوپ اول (نیم‌عمر ۴ ماه) نیم‌عمر این ایزوتوپ ۴ ماه است، یعنی در هر ۴ ماه، نیمی از هسته‌ها متلاشی می‌شوند. پس بعد از ۱۲ ماه که ۳ نیم‌عمر گذشته: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \] بنابراین بعد از ۱۲ ماه، تعداد هسته‌های باقی‌مانده از این ایزوتوپ برابر \(\frac{1}{8}\) تعداد اولیه است. ### ایزوتوپ دوم (نیم‌عمر ۶ ماه) نیم‌عمر این ایزوتوپ ۶ ماه است، یعنی در هر ۶ ماه، نیمی از هسته‌ها متلاشی می‌شوند. بعد از ۱۲ ماه که ۲ نیم‌عمر گذشته: \[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \] بنابراین بعد از ۱۲ ماه، تعداد هسته‌های باقی‌مانده از این ایزوتوپ برابر \(\frac{1}{4}\) تعداد اولیه است. حال اگر تعداد هسته‌های متلاشی شده هر دو ایزوتوپ برابر باشد، یعنی: \[ N_0 - \frac{1}{8}N_0 = M_0 - \frac{1}{4}M_0 \] \[ \frac{7}{8}N_0 = \frac{3}{4}M_0 \] نسبت تعداد هسته‌های اولیه: \[ \frac{N_0}{M_0} = \frac{3}{4} \div \frac{7}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{7} = \frac{6}{7} \] بنابراین پاسخ صحیح گزینه ۲ \(\frac{6}{7}\) است.