برای حل این سوال، ابتدا باید تعداد هسته‌های باقی‌مانده بعد از یک سال (۱۲ ماه) را برای هر دو ایزوتوپ حساب کنیم و سپس از طریق آن، نسبت تعداد اولیه هسته‌های این دو ایزوتوپ را پیدا کنیم.
### ایزوتوپ اول (نیم‌عمر ۴ ماه)
نیم‌عمر این ایزوتوپ ۴ ماه است، یعنی در هر ۴ ماه، نیمی از هسته‌ها متلاشی می‌شوند. پس بعد از ۱۲ ماه که ۳ نیم‌عمر گذشته:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} \]
بنابراین بعد از ۱۲ ماه، تعداد هسته‌های باقی‌مانده از این ایزوتوپ برابر \(\frac{1}{8}\) تعداد اولیه است.
### ایزوتوپ دوم (نیم‌عمر ۶ ماه)
نیم‌عمر این ایزوتوپ ۶ ماه است، یعنی در هر ۶ ماه، نیمی از هسته‌ها متلاشی می‌شوند. بعد از ۱۲ ماه که ۲ نیم‌عمر گذشته:
\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
بنابراین بعد از ۱۲ ماه، تعداد هسته‌های باقی‌مانده از این ایزوتوپ برابر \(\frac{1}{4}\) تعداد اولیه است.
حال اگر تعداد هسته‌های متلاشی شده هر دو ایزوتوپ برابر باشد، یعنی:
\[ N_0 - \frac{1}{8}N_0 = M_0 - \frac{1}{4}M_0 \]
\[ \frac{7}{8}N_0 = \frac{3}{4}M_0 \]
نسبت تعداد هسته‌های اولیه:
\[ \frac{N_0}{M_0} = \frac{3}{4} \div \frac{7}{8} = \frac{3}{4} \times \frac{8}{7} = \frac{6}{7} \]
بنابراین پاسخ صحیح گزینه ۲ \(\frac{6}{7}\) است.
