حاصل عبارت مقابل کدام است؟

برای محاسبه عبارت \( \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots + \frac{1}{1024} \) می‌توان از فرمول مجموع دنباله هندسی استفاده کرد. عبارت داده شده یک دنباله هندسی است که جمله اول آن \(\frac{1}{2}\) و قدر نسبت آن نیز \(\frac{1}{2}\) است. فرمول مجموع دنباله هندسی با جمله اول \(a\) و قدر نسبت \(r\) و تعداد جملات \(n\) به صورت زیر است: \[ S_n = a \frac{1-r^n}{1-r} \] در این‌جا \(a = \frac{1}{2}\)، \(r = \frac{1}{2}\) و \(n = 10\) (زیرا \(\frac{1}{1024} = \frac{1}{2^{10}}\)). حال با جایگذاری در فرمول، داریم: \[ S_{10} = \frac{1}{2} \frac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{1- \frac{1}{1024}}{\frac{1}{2}} = 1-\frac{1}{1024} \] بنابراین، حاصل نهایی برابر است با: \[ 1 - \frac{1}{1024} \] این مقدار تقریباً برابر 0.9990234375 است.