برای حل این دو عبارت، به ترتیب پیش میرویم:
---
عبارت اول:
/frac{1}{2} + /frac{1}{4} + /frac{1}{8} + /cdots + /frac{1}{128}
/]
این یک تصاعد هندسی با جملهی اول a = /frac{1}{2} و نسبت r = /frac{1}{2} است. تعداد جملات از 2^1 تا 2^7 (چون 128 = 2^7 )، پس ۷ جمله داریم.
مجموع تصاعد هندسی:
S = a /times /frac{1 - r^n}{1 - r} = /frac{1}{2} /times /frac{1 - (/frac{1}{2})^7}{1 - /frac{1}{2}}
= /frac{1}{2} /times /frac{1 - /frac{1}{128}}{/frac{1}{2}}
= 1 - /frac{1}{128} = /frac{127}{128}
✅ نتیجهٔ اول:
/boxed{/frac{127}{128}}
---
عبارت دوم:
(1 + /frac{1}{2})(1 + /frac{1}{4})(1 + /frac{1}{8})/cdots(1 + /frac{1}{128})
/]
مینویسیم:
(1 + /frac{1}{2}) = /frac{3}{2}, /quad (1 + /frac{1}{4}) = /frac{5}{4}, /quad /dots, /quad (1 + /frac{1}{128}) = /frac{129}{128}
/]
پس حاصل ضرب برابر است با:
/frac{3}{2} /times /frac{5}{4} /times /frac{9}{8} /times /cdots /times /frac{129}{128}
/]
صورتها اعداد فرد از ۳ تا ۱۲۹ هستند و مخرجها توانهای ۲ از ۲ تا ۱۲۸.
میتوان از اتحاد زیر استفاده کرد:
/prod_{k=1}^{n} /left(1 + /frac{1}{2^k}/right) = /frac{2^{n+1} - 1}{2^n}
/]
که برای n = 7 (چون 2^7 = 128 ):
/frac{2^{8} - 1}{2^7} = /frac{256 - 1}{128} = /frac{255}{128}
✅ نتیجهٔ دوم:
/boxed{/frac{255}{128}}
---
پاسخ نهایی:
· مجموع کسرها: ۱۲۷/۱۲۸
· حاصل ضرب: ۲۵۵/۱۲۸
