برای رسم نمودار سرعت-زمان و پاسخ به سوال، مراحل زیر را دنبال می‌کنیم:
1. **معادله سرعت:**
با توجه به نمودار شتاب، شتاب برای \( t = 0 \) تا \( t = 10 \) برابر 2 و از \( t = 10 \) تا \( t = 20 \) برابر -2 است. شتاب \( a(t) \) به صورت قطعه‌ای است:
\[
a(t) =
\begin{cases}
2 & \text{for } 0 \leq t < 10\\
-2 & \text{for } 10 \leq t \leq 20
\end{cases}
\]
2. **رابطه شتاب و سرعت:**
سرعت با انتگرالگیری از شتاب به دست می‌آید.
\[
v(t) = \int a(t) \, dt
\]
3. **محاسبه سرعت برای \( 0 \leq t < 10 \):**
\[
v(t) = 10 + \int_{0}^{t} 2 \, dt = 10 + 2t
\]
4. **محاسبه سرعت برای \( 10 \leq t \leq 20 \):**
ابتدا مقدار سرعت در \( t=10 \) را محاسبه می‌کنیم:
\[
v(10) = 10 + 2 \times 10 = 30
\]
سپس انتگرال را برای این بازه با شتاب منفی ادامه می‌دهیم:
\[
v(t) = 30 + \int_{10}^{t} -2 \, dt = 30 - 2(t-10) = 50 - 2t
\]
5. **ترسیم نمودار سرعت-زمان:**
برای \( 0 \leq t < 10 \)، سرعت از 10 تا 30 افزایش می‌یابد.
برای \( 10 \leq t \leq 20 \)، سرعت دوباره از 30 به 10 کاهش می‌یابد.
6. **پاسخ به سوال عبور از مبدا:**
نقطه صفر گذر از مبدا زمانی است که \( x(t) = 0 \) باشد و از \(\int v(t) \, dt\) استفاده می‌کنیم. تابع مسافت با انتگرالگیری از سرعت به دست می‌آید. برای عبور سوم، ما نیاز به تحلیل بیشتر و بررسی دقیق داریم که با استفاده از شتاب و سرعت محاسبه شده انجام می‌شود.
در نهایت، سرعت و تغییرات در بازه‌های مختلف را می توان مشاهده کرد. ابتدا سرعت افزایش و سپس کاهش می یابد، که نشان می دهد ذره چگونه حرکت می کند.
