برای اثبات این موضوع، ابتدا باید یک عدد طبیعی فرد را به صورت جبری تعریف کنیم.
یک عدد طبیعی فرد را میتوان به صورت زیر نوشت:
\( n = 2k + 1 \)
که در آن \( k \) یک عدد طبیعی (یا صفر) است. بنابراین، دو عدد طبیعی فرد را میتوان به شکل زیر نوشت:
\( n_1 = 2k_1 + 1 \) و \( n_2 = 2k_2 + 1 \)
که در آن \( k_1 \) و \( k_2 \) نیز اعداد طبیعی هستند.
حال بیایید مجموع این دو عدد را محاسبه کنیم:
\[
n_1 + n_2 = (2k_1 + 1) + (2k_2 + 1)
\]
با جمع کردن عبارات داخل پرانتز، به شکل زیر میرسیم:
\[
n_1 + n_2 = 2k_1 + 2k_2 + 2
\]
لذا میتوان این رابطه را به صورت زیر نوشت:
\[
n_1 + n_2 = 2(k_1 + k_2 + 1)
\]
میبینیم که \( k_1 + k_2 + 1 \) نیز یک عدد طبیعی است (زیرا جمع و اضافه کردن اعداد طبیعی همیشه یک عدد طبیعی خواهد بود).
بنابراین، مجموع دو عدد فرد \( n_1 + n_2 \) میتواند به فرم \( 2m \) (که \( m = k_1 + k_2 + 1 \)) نوشته شود. از آنجا که هر عددی که به فرم \( 2m \) نوشته شود، یک عدد زوج است، نتیجه میگیریم که مجموع دو عدد طبیعی فرد همیشه عددی زوج خواهد بود.
پس، اثبات شد که مجموع دو عدد طبیعی فرد، عدد زوج خواهد بود.
