برای حل این معادلات برداری، باید بردارهای موجود در هر معادله را با هم مقایسه و معادلات مربوط به هر جزء از بردار را حل کنیم.
### معادله اول:
\[
\begin{bmatrix} -19 \\ -11 \end{bmatrix} + 6 \cdot X = \begin{bmatrix} -1 \\ +1 \end{bmatrix}
\]
ابتدا بردار \(\begin{bmatrix} -19 \\ -11 \end{bmatrix}\) را از هر دو طرف معادله کم میکنیم:
\[
6 \cdot X = \begin{bmatrix} -1 \\ +1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -19 \\ -11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 + 19 \\ 1 + 11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 \\ 12 \end{bmatrix}
\]
سپس، بردار \(\begin{bmatrix} 18 \\ 12 \end{bmatrix}\) را بر 6 تقسیم میکنیم تا X را پیدا کنیم:
\[
X = \begin{bmatrix} 18/6 \\ 12/6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}
\]
### معادله دوم:
\[
3\vec{i} + 5\vec{j} - 4X = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}
\]
فرض میکنیم \(X = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}\) باشد. بنابراین:
\[
3\vec{i} + 5\vec{j} - 4 \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}
\]
این معادله را به دو معادله جداگانه برای هر مولفه تفکیک میکنیم:
1. \(3 - 4x_1 = 1\)
2. \(5 - 4x_2 = -3\)
حل معادله اول:
\[
3 - 4x_1 = 1 \implies -4x_1 = 1 - 3 \implies -4x_1 = -2 \implies x_1 = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}
\]
حل معادله دوم:
\[
5 - 4x_2 = -3 \implies -4x_2 = -3 - 5 \implies -4x_2 = -8 \implies x_2 = \frac{-8}{-4} = 2
\]
پس \(X = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 2 \end{bmatrix}\) میباشد.
نتیجه نهایی برای \(X\) در معادله اول \(\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}\) و در معادله دوم \(\begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ 2 \end{bmatrix}\) است.
