- عدد ۱۳۳ اول است یا مرکب؟ دلیل خود را کامل بنویسید.
پاسخ: عدد ۱۳۳ مرکب است.
دلیل: برای اینکه بفهمیم عددی اول است یا نه، باید آن را بر اعداد اول کوچک تقسیم کنیم. اگر عدد بر ۳ بخش‌پذیر باشد، مجموع ارقامش باید بر ۳ بخش‌پذیر باشد (
1
+
3
+
3
=
7
1+3+3=7
که بر ۳ بخش‌پذیر نیست). اما اگر بررسی کنیم، می‌بینیم که:
133
=
7
×
19
133=7×19
چون عدد ۱۳۳ بر ۷ و ۱۹ بخش‌پذیر است و بیش از دو شمارنده (۱ و خودش) دارد، پس مرکب است.۲- سه عدد بنویسید که غیر از ۱ و خودش شمارنده دیگری نداشته باشد.
(نکته: در متن سوال نوشتی «غیر از ۳ و ها»، اما منظور استاندارد ریاضی این است که غیر از ۱ و خودش شمارنده نداشته باشد که همان تعریف عدد اول است).
پاسخ: هر سه عدد زیر اول هستند:
۲، ۵، ۷ (یا هر سه عدد اول دیگری مثل ۱۱، ۱۳، ۱۷۳- تعداد اعداد اول کمتر از ۱۰، ۱۵ عدد است. تعداد اعداد مرکب کوچکتر از ۵۰ چند تاست؟ چرا؟
پاسخ: ابتدا باید بدانیم از ۱ تا ۵۰ چند عدد داریم.
۱. کل اعداد از ۱ تا ۵۰ برابر است با: ۵۰ عدد.
۲. عدد ۱ نه اول است و نه مرکب. پس آن را کنار می‌گذاریم.
۳. طبق صورت سوال، تعداد اعداد اول تا ۵۰ را باید پیدا کنیم. (تعداد اعداد اول تا ۵۰ برابر با ۱۵ است).
۴. فرمول محاسبه اعداد مرکب:
تعداد اعداد مرکب
=
کل اعداد
−
(
تعداد اعداد اول
+
عدد ۱
)
تعداد اعداد مرکب=کل اعداد−(تعداد اعداد اول+عدد ۱)
تعداد اعداد مرکب
=
50
−
(
15
+
1
)
=
50
−
16
=
34
تعداد اعداد مرکب=50−(15+1)=50−16=34
پاسخ نهایی: ۳۴ عدد مرکب داریم.
چرا؟ چون وقتی اعداد اول و عدد ۱ را از کل اعداد ۵۰تایی کم کنیم، فقط اعداد مرکب باقی می‌مانند۴- برای اینکه بفهمیم عدد ۱۰۷ اول است یا مرکب، چند تا تقسیم لازم است و بر چه اعدادی؟
پاسخ: برای تست اول بودن یک عدد، لازم نیست بر همه اعداد تقسیم کنیم. فقط کافی است بر اعداد اولی تقسیم کنیم که مربع آن‌ها از عدد مورد نظر کمتر یا مساوی باشد.
107
107
تقریباً برابر با ۱۰.۳ است. پس فقط باید بر اعداد اولی که کوچکتر از ۱۰ هستند تقسیم کنیم.
اعداد لازم برای تقسیم: ۲، ۳، ۵ و ۷
(اگر بر این ۴ عدد بخش‌پذیر نبود، پس ۱۰۷ حتماً اول است).- سوالات مربوط به غربال اراک (اعداد ۱ تا ۹۰)
الف) اولین عددی که خط می‌خورد؟
پاسخ: عدد ۴ (چون اولین عدد مرکب است و در مرحله غربال کردن مضارب عدد ۲، خط می‌خورد).
ب) اولین مضرب ۷ که برای اولین بار خط می‌خورد؟
پاسخ: عدد ۷ خودِ عدد است، اما اگر منظور اولین عدد مرکبِ مضرب ۷ باشد، عدد ۱۴ است (چون در مرحله اول که مضارب ۲ را خط می‌زنیم، ۱۴ هم خط می‌خورد).
ج) بر عدد ما با مضرب کدام عدد خط می‌خورد؟ (این سوال کمی مبهم است، اما اگر منظور اولین عدد مرکب باشد، همان عدد ۴ است که بر مضارب ۲ خط می‌خورد).
د) تمام مضرب‌هایی که برای اولین بار خط می‌خورند؟
پاسخ: مضرب‌هایی که برای اولین بار خط می‌خورند، همان اعداد مرکب هستند که در مرحله خودشان خط می‌خورند. مثلاً مضارب ۲ که قبلاً خط نخورده بودند (مثل ۴، ۶، ۸…) یا مضارب ۳ که قبلاً توسط ۲ خط نخورده بودند (مثل ۹، ۱۵…).۶- عددی کمتر از ۱۶۰ و بزرگتر از ۱۳۰ می‌باشد، برای اینکه بفهمیم این عدد اول است یا خیر، حداکثر چند تقسیم انجام می‌دهیم؟
پاسخ: ابتدا جذر (ریشه دوم) ۱۶۰ را تقریباً پیدا می‌کنیم:
160
160
تقریباً برابر با ۱۲.۶ است.
پس باید بر تمام اعداد اول کوچکتر از ۱۲.۶ تقسیم کنیم.
اعداد اول لازم: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱
پاسخ نهایی: حداکثر ۵ تقسیم لازم است.۷- مجموع دو عدد اول، ۳۳ شده است، آن دو عدد اول کدام‌اند؟
پاسخ: ما دو عدد اول داریم که جمعشان ۳۳ شده است.
نکته مهم: مجموع دو عدد اگر فرد باشد (مثل ۳۳)، حتماً باید یکی از آن دو عدد زوج و دیگری فرد باشد.
تنها عدد اول زوج در تمام ریاضیات، عدد ۲ است.
پس عدد اول اول ما حتماً ۲ است.
حالا عدد دوم را پیدا می‌کنیم:
33
−
2
=
31
33−2=31
آیا ۳۱ اول است؟ بله، ۳۱ فقط بر ۱ و خودش بخش‌پذیر است.
پاسخ نهایی: آن دو عدد ۲ و ۳۱ هستند
