برای یافتن حاصل عبارت \(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \ldots + \frac{1}{512}\) میتوانیم آن را به عنوان یک دنباله هندسی تحلیل کنیم.
**مراحل حل:**
1. **تشخیص دنباله هندسی:** این جملهها یک دنباله هندسی تشکیل میدهند که جمله اول آن \(\frac{1}{2}\) و قدر نسبت آن \(\frac{1}{2}\) است.
2. **تعداد جملات:** جملات این دنباله تا \(\frac{1}{512}\) ادامه دارند. از آنجایی که قدر نسبت \(\frac{1}{2}\) است، برای پیدا کردن تعداد جملات، رابطه را به صورت \(2^{n} = 512\) حل میکنیم. \((512 = 2^9)\) پس \(n = 9\).
3. **مجموع جملات دنباله هندسی:** فرمول مجموع جملات دنباله هندسی به صورت زیر است:
\[
S_n = a \frac{1-r^n}{1-r}
\]
که در آن \(a = \frac{1}{2}\) و \(r = \frac{1}{2}\). بنابراین:
\[
S_9 = \frac{1}{2} \frac{1 - (\frac{1}{2})^9}{1 - \frac{1}{2}}
\]
4. **محاسبه:** این معادله را ساده میکنیم:
\[
S_9 = \frac{1}{2} \times \frac{1 - \frac{1}{512}}{\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{512}
\]
5. **نتیجه نهایی:**
\[
S_9 = \frac{511}{512}
\]
بنابراین، حاصل این مجموع \(\frac{511}{512}\) است.
