برای حل این سوال، فرض کنیم که بین ارقام ۱۱ و ۱۱۱، \( n \) عدد واسطه حسابی داریم. بنابراین، دنباله حسابی ما به شکل زیر خواهد بود:
\( a_1 = 11, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1} = 111 \)
در یک دنباله حسابی، هر دو عدد متوالی با یک تفاوت مشخص از هم فاصله دارند. این تفاوت را با \( d \) نمایش میدهیم.
نکته مهم این است که بزرگترین عدد (یعنی \( a_{n+1} \)) باید از کوچکترین عدد (یعنی \( a_1 \))، ۹۲ واحد بیشتر باشد. بنابراین:
\[
a_{n+1} - a_1 = 111 - 11 = 100
\]
ما باید متوجه شویم که وقتی \( n \) عدد واسطه داریم و فاصله بین \( 11 \) و \( 111 \)، ۹۲ واحد است، در واقع تعداد اعداد بیشتری داریم.
از آنجا که در دنباله حسابی داریم:
\[
a_{n+1} = a_1 + n \cdot d
\]
با توجه به روابط میدانیم که:
\[
111 - 11 = n \cdot d
\]
حالا، ما میدانیم که فاصله کل \( 100 \) (یعنی \( 111 - 11 \)) باید برابر با \( n \cdot d \) باشد.
حالا با در نظر گرفتن رابطه اصلی سوال که میگوید فاصله بین بزرگترین و کوچکترین عدد (یعنی \( 111 - 11 \)) باید ۹۲ باشد، باید بررسی کنیم که در اینجا به اعداد واقعی چه برای \( n, d \) دست پیدا کنیم.
پس در نهایت با توجه به اینکه ما عدد ۱۱ را داریم و فاصله کل ۱۰۰ را در نظر داریم، نتیجه میگیریم:
\[
92 = n \cdot d
\]
با توجه به دو معادله، اولین معادله از ۱۱ تا ۱۱۱ داریم:
\[
100 = n \cdot d
\]
و ما باید از این دو معادله استفاده کنیم و ببینیم چگونه میتوان این را حل کرد.
از معادله \( 100 = n \cdot d \):
- اگر \( d = \frac{100}{n} \) را در معادله دوم جایگزین کنیم:
\[
92 = n \cdot \frac{100}{n}
\]
که میشود:
\[
92 = 100
\]
در نتیجه، خطا وجود دارد. لطفاً مجدداً بررسی کنید یا آیا به دقت سوال را مطرح کردهاید، زیرا عدد دقیق 92 نمیتواند بهطور مستقیم از 100 به دست آید.
نتیجه نهایی این است که باید بررسی نمایید که چند عدد واسطه بین ۱۱ و ۱۱۱ قرار داده شده است که فاصله آنها برابر با ۹۲ واحد است، با نظر به تعریف دنبالهها و محاسبات.
اما در حالت کلی به صورت منطقی نمیتوان تعدادی را پیدا کرد که به این نتیجه برسیم. پس پاسخ صحیح با شرایط معین نشده، میتواند منجر به وجود نداشتن واسطه درست باشد.
در واقع با توجه به محاسبات به این نتیجه میرسیم که تعداد واسطهها به نوعی در بین ۱۱ و ۱۱۱ قابل درک نیست.
