برای حل این معادله، باید تشخیص دهیم کدام گزینه برای \( m \) درست است. معادله داده شده:
\[ m x^2 + (m-1)x + \frac{1}{4} = 0 \]
دارای ریشه مضاعف است. شرط ریشه مضاعف بودن این است که مقدار دلتا معادله برابر صفر باشد. دلتا (\(\Delta\)) برای معادله درجه دو به صورت زیر تعریف می‌شود:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
برای داده‌های معادله:
\[ a = m, \quad b = m-1, \quad c = \frac{1}{4} \]
دلتا را محاسبه کنید:
\[ \Delta = (m-1)^2 - 4 \times m \times \frac{1}{4} \]
\[ \Delta = (m-1)^2 - m \]
برای ریشه مضاعف بودن، نیاز داریم \(\Delta = 0\) باشد:
\[ (m-1)^2 - m = 0 \]
حل معادله:
1. بسط مربعی: \((m-1)^2 = m^2 - 2m + 1\)
2. قرار دادن در معادله: \(m^2 - 2m + 1 - m = 0\)
3. ساده‌سازی: \(m^2
