**سوال**: یک مستطیل به ابعاد ۶ و ۱۲ سانتی‌متر را یک بار حول طول و یک بار حول عرضش دوران می‌دهیم. حجم حاصل از دوران حول عرض، چند برابر حجم حاصل از دوران حول طول آن است؟ * **پاسخ**: * حجم حاصل از دوران حول طول: π * (۶)^۲ * ۱۲ = ۴۳۲π * حجم حاصل از دوران حول عرض: π * (۱۲)^۲ * ۶ = ۸۶۴π * نسبت حجم حاصل از دوران حول عرض به حجم حاصل از دوران حول طول: ۸۶۴π / ۴۳۲π = ۲ * حجم حاصل از دوران حول عرض، **دو برابر** حجم حاصل از دوران حول طول است. **سوال**: یک مقوای مستطیل شکل به ابعاد ۵۶ / ۱۴ و ۱۰ سانتی‌متر را به شکل استوانه به ارتفاع ۱۰ سانتی‌متر درآورده‌ایم. حجم این استوانه، چند سانتی‌متر مکعب است؟ * **پاسخ**: * چون ارتفاع استوانه ۱۰ سانتی متر است، یعنی ۱۴ همان محیط قاعده دایره است: 2*π*r = 14 * شعاع قاعده: r = 14 / (2*π) = 7/π * مساحت قاعده: π * r^۲ = π * (7/π)^۲ = 49/π * حجم استوانه: مساحت قاعده * ارتفاع = (49/π) * 10 = 490/π * با تقریب π = ۳، حجم استوانه تقریباً برابر است با: 490/۳ ≈ ۱۶۳.۳۳ سانتی‌متر مکعب **سوال**: شکل مقابل، گسترده چه حجمی است؟ اگر ابعاد مستطیل ۲۴ و ۱۵ سانتی‌متر باشد، حجم، مساحت جانبی و مساحت کل را حساب کنید. (π = ۳) * **پاسخ**: * این شکل، گسترده یک استوانه است. * اگر ابعاد مستطیل ۲۴ و ۱۵ سانتی‌متر باشد، یعنی ارتفاع استوانه ۱۵ سانتی‌متر و محیط قاعده ۲۴ سانتی‌متر است. * شعاع قاعده: 2*π*r = 24 => r = 24 / (2*π) = 12/π * با تقریب π = ۳، شعاع قاعده برابر است با: r = 12/۳ = ۴ سانتی‌متر * مساحت جانبی: محیط قاعده * ارتفاع = ۲۴ * ۱۵ = ۳۶۰ سانتی‌متر مربع * مساحت قاعده: π * r^۲ = ۳ * ۴^۲ = ۳ * ۱۶ = ۴۸ سانتی‌متر مربع * مساحت کل: مساحت جانبی + ۲ * مساحت قاعده = ۳۶۰ + ۲ * ۴۸ = ۳۶۰ + ۹۶ = ۴۵۶ سانتی‌متر مربع * حجم: مساحت قاعده * ارتفاع = ۴۸ * ۱۵ = ۷۲۰ سانتی‌متر مکعب **سوال**: با توجه به تصویر منشور زیر، ابعاد آن را روی گسترده منشور بنویسید و سپس مساحت جانبی، مساحت کل و حجم منشور را حساب کنید. * **پاسخ**: * **مساحت جانبی:** (۷ + ۳۰ + ۲۵) * ۲۲ = ۶۲ * ۲۲ = ۱۳۶۴ سانتی‌متر مربع * ابتدا باید ارتفاع مثلث را حساب کنیم: * از رابطه فیثاغورس داریم: `h^2 + (7/2)^2 = 25^2` که `h` ارتفاع مثلث است. * با حل این معادله: `h^2 = 25^2 - (7/2)^2 = 625 - 12.25 = 612.75` * بنابراین: `h ≈ √612.75 ≈ 24.75` * مساحت دو قاعده (دو مثلث): ۲ * (۰.۵ * ۷ * ۲۴.۷۵) = ۱۷۳.۲۵ سانتی‌متر مربع * **مساحت کل:** ۱۳۶۴ + ۱۷۳.۲۵ = ۱۵۳۷.۲۵ سانتی‌متر مربع * **حجم:** مساحت قاعده * ارتفاع منشور = (۰.۵ * ۷ * ۲۴.۷۵) * ۲۲ = ۱۷۳.۲۵ * ۲۲ = ۳۸۱۰.۵ سانتی‌متر مکعب **سوال**: شکل زیر، گسترده چه حجمی است؟ این حجم هندسی را رسم کنید و سپس ابعاد آن را با توجه به عددهای داده‌شده بنویسید و مساحت جانبی، مساحت کل و حجم آن را حساب کنید. * **پاسخ**: * این شکل، گسترده یک مکعب مستطیل (یا منشور مستطیلی) است. * ابعاد مکعب مستطیل: * طول: ۱۵ سانتی‌متر * عرض: ۴ سانتی‌متر * ارتفاع: ۸ سانتی‌متر * مساحت جانبی: ۲ * (ارتفاع * (طول + عرض)) = 2 * (۸ * (۱۵ + ۴)) = ۲ * (۸ * ۱۹) = ۳۰۴ سانتی‌متر مربع * مساحت کل: ۲ * ((طول * عرض) + (طول * ارتفاع) + (عرض * ارتفاع)) = ۲ * ((۱۵ * ۴) + (۱۵ * ۸) + (۴ * ۸)) = ۲ * (۶۰ + ۱۲۰ + ۳۲) = ۲ * ۲۱۲ = ۴۲۴ سانتی‌متر مربع * حجم: طول * عرض * ارتفاع = ۱۵ * ۴ * ۸ = ۴۸۰ سانتی‌متر مکعب معرکه و فالو یادت نره ❤️