برای حل سوالات مربوط به پیوستگی و عدم پیوستگی تابع، می‌توان به نکات زیر توجه کرد:
الف) تابعی که در صفر ناپیوسته باشد ولی حد داشته باشد:
برای تعریف چنین تابعی، می‌توان از تابعی مانند تابع جزء صحیح یا تابعی مشابه استفاده کرد. برای مثال:
\[ f(x) = \begin{cases}
x, & \text{if } x \neq 0 \1, & \text{if } x = 0
\end{cases} \]
این تابع در نقطه \(0\) ناپیوسته است، اما:
\[
\lim_{x \to 0} f(x) = 0
\]
بنابراین حد دارد.
ب) تابعی که در نقاط ۳ و ۶ ناپیوسته باشد و در این نقاط حد نداشته باشد:
یک مثال می‌تواند تابعی با پرش جهنده در این نقاط باشد. برای مثال:
\[ g(x) = \begin{cases}
x, & \text{if } x \neq 3, 6 \\text{undefined}, & \text{if } x = 3 \text{ or } x = 6
\end{cases} \]
در این صورت، تابع در نقاط ۳ و ۶ حد ندارد و ناپیوسته است.
پ) تابعی که فقط در دو نقطه ناپیوسته باشد:
تابع پله‌ای یا درجه‌ای می‌تواند مثال خوبی باشد. برای نمونه:
\[ h(x) = \begin{cases}
x, & \text{if } x < 1 \text{ or } x > 2 \1, & \text{if } 1 \leq x < 1.5 \1.5, & \text{if } 1.5 \leq x \leq 2
\end{cases} \]
این تابع در نقاط ۱ و ۱.۵ ناپیوسته است اما در باقی نقاط پیوسته است.
هرکدام از این مثال‌ها با توجه به ویژگی‌های خاص خود، مفهوم پیوستگی و ناپیوستگی را نشان می‌دهند.
