آیا شما می توانید این سوال رو حل کنید ؟

برای حل سوالات مربوط به پیوستگی و عدم پیوستگی تابع، می‌توان به نکات زیر توجه کرد: الف) تابعی که در صفر ناپیوسته باشد ولی حد داشته باشد: برای تعریف چنین تابعی، می‌توان از تابعی مانند تابع جزء صحیح یا تابعی مشابه استفاده کرد. برای مثال: \[ f(x) = \begin{cases} x, & \text{if } x \neq 0 \1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \] این تابع در نقطه \(0\) ناپیوسته است، اما: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \] بنابراین حد دارد. ب) تابعی که در نقاط ۳ و ۶ ناپیوسته باشد و در این نقاط حد نداشته باشد: یک مثال می‌تواند تابعی با پرش جهنده در این نقاط باشد. برای مثال: \[ g(x) = \begin{cases} x, & \text{if } x \neq 3, 6 \\text{undefined}, & \text{if } x = 3 \text{ or } x = 6 \end{cases} \] در این صورت، تابع در نقاط ۳ و ۶ حد ندارد و ناپیوسته است. پ) تابعی که فقط در دو نقطه ناپیوسته باشد: تابع پله‌ای یا درجه‌ای می‌تواند مثال خوبی باشد. برای نمونه: \[ h(x) = \begin{cases} x, & \text{if } x < 1 \text{ or } x > 2 \1, & \text{if } 1 \leq x < 1.5 \1.5, & \text{if } 1.5 \leq x \leq 2 \end{cases} \] این تابع در نقاط ۱ و ۱.۵ ناپیوسته است اما در باقی نقاط پیوسته است. هرکدام از این مثال‌ها با توجه به ویژگی‌های خاص خود، مفهوم پیوستگی و ناپیوستگی را نشان می‌دهند.