برای حل معادله \( \sqrt[3]{\sqrt[4]{\sqrt[2]{2}}} \) و یافتن مقدار \( a \) که معادل \( \sqrt[12]{a} \) است، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. ابتدا ریشهها را به صورت توانی بنویسیم:
\[
\sqrt[2]{2} = 2^{\frac{1}{2}}
\]
2. این مقدار را در ریشه چهارم جایگذاری کنیم:
\[
\sqrt[4]{\sqrt[2]{2}} = \left(2^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{8}}
\]
3. حالا این مقدار را در ریشه سوم جایگذاری کنیم:
\[
\sqrt[3]{\sqrt[4]{\sqrt[2]{2}}} = \left(2^{\frac{1}{8}}\right)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{24}}
\]
4. بنابراین، \( 2^{\frac{1}{24}} = \sqrt[12]{a} \)، که معادل است با:
\[
a^{\frac{1}{12}} = 2^{\frac{1}{24}}
\]
5. از مقایسه توانها نتیجه میگیریم:
\[
a = 2^{\frac{1}{24} \times 12} = 2^{\frac{1}{2}}
\]
6. پس:
\[
a = \sqrt{2}
\]
مقدار \( a \) برابر است با \( \sqrt{2} \).
