۵۶۸- در شکل مقابل، O مرکز دایره است. اگر $\widehat{DFE} = 40^{\circ}$ و $\widehat{ACE} = 20^{\circ}$ باشند، اندازه کمان $\widehat{BD}$ چند درجه است؟ 1) $45^{\circ}$ 2) $35^{\circ}$ 3) $30^{\circ}$ 4) $25^{\circ}$ [شکل: دایره با مرکز O و نقاط A, B, C, D, E, F روی محیط آن که پاره‌خط‌های متقاطع در بیرون دایره و داخل آن را نشان می‌دهد.]

۵۶۷- گزینه (۴) زوایای $\widehat{CAB}$ و $\widehat{DBA}$ را برحسب کمان‌های مقابل آن‌ها می‌نویسیم و داریم: $\widehat{CAB} = \frac{\widehat{CF} - \widehat{CE}}{2} \Rightarrow 48^{\circ} = \frac{\widehat{CF} - \widehat{CE}}{2} \Rightarrow \widehat{CF} - \widehat{CE} = 96^{\circ} \quad (1)$ $\widehat{DBA} = \frac{\widehat{DE} - \widehat{DF}}{2} \Rightarrow 32^{\circ} = \frac{\widehat{DE} - \widehat{DF}}{2} \Rightarrow \widehat{DE} - \widehat{DF} = 64^{\circ} \quad (2)$ سؤال از ما زاویه $\widehat{CKB}$ را می‌خواهد که برابر $\frac{\widehat{CF} + \widehat{DE}}{2}$ است. پس اندازه کمان‌های $\widehat{CF}$ و $\widehat{DE}$ را می‌خواهیم. می‌دانیم مجموع اندازه‌ کمان‌های دایره $360^{\circ}$ است. پس: $\widehat{CF} + \widehat{FD} + \widehat{DE} + \widehat{EC} = 360^{\circ}$ (۱), (۲) $\Rightarrow \widehat{CF} + \widehat{DE} - 64^{\circ} + \widehat{DE} + \widehat{CF} - 96^{\circ} = 360^{\circ} \Rightarrow \widehat{CF} + \widehat{DE} = 260^{\circ}$ $\Rightarrow \widehat{CKB} = \frac{\widehat{CF} + \widehat{DE}}{2} = \frac{260^{\circ}}{2} = 130^{\circ}$ [شکل: دایره با نقاط A, B, C, D, E, F و تقاطع پاره‌خط‌ها در نقطه K]