برای اینکه متوجه شویم کدام مجموعه اعداد اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه هستند، از قضیه فیثاغورس استفاده می‌کنیم. برای مثلث قائم‌الزاویه با اضلاع \(a\)، \(b\) و وتر \(c\) داریم:
\[ a^2 + b^2 = c^2 \]
عدد بزرگ‌تر را به عنوان وتر (\(c\)) در نظر می‌گیریم و این معادله را بررسی می‌کنیم:
1. \(12, 10, 8\):
\[ 8^2 + 10^2 = 64 + 100 = 164 \]
\[ 12^2 = 144 \]
پس \(164 \neq 144\)، بنابراین این مجموعه اعداد مثلث قائم‌الزاویه تشکیل نمی‌دهند.
2. \(7, 6, 5\):
\[ 5^2 + 6^2 = 25 + 36 = 61 \]
\[ 7^2 = 49 \]
پس \(61 \neq 49\)، بنابراین این مجموعه اعداد مثلث قائم‌الزاویه تشکیل نمی‌دهند.
3. \(6, 8, 10\):
\[ 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]
\[ 10^2 = 100 \]
پس \(100 = 100\)، بنابراین این مجموعه اعداد مثلث قائم‌الزاویه تشکیل می‌دهند.
4. \(7, 8, 9\):
\[ 7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113 \]
\[ 9^2 = 81 \]
پس \(113 \neq 81\)، بنابراین این مجموعه اعداد مثلث قائم‌الزاویه تشکیل نمی‌دهند.
پس پاسخ صحیح گزینه سوم \((6, 8, 10)\) است.
