برای رد حدس‌های کلی زیر، مثال نقض ارائه کنید. آ) ارتفاع‌های هر مثلث داخل مثلث واقع است. ب) هر زاویه خارجی یک مثلث، از هر زاویه داخلی آن بزرگ‌تر است. پ) اگر دو زاویه مکمل یکدیگر باشند، آنگاه هر دو زاویه قائمه هستند. ت) به ازای هیچ دو عدد اول $a$ و $b$، عدد $a+b$ اول نیست. ث) به ازای هر عدد طبیعی $n$، عدد $n^{2}+n+41$ عددی اول است.

هر یک از قضیه‌های زیر را به‌صورت یک قضیه دوشرطی بنویسید. آ) قضیه تالس ب) در مثلث متساوی‌الساقین، ارتفاع و میانه وارد بر قاعده بر هم منطبق‌اند. پ) در دو مثلث متشابه، اضلاع متناظر متناسب هستند. ت) هر نقطه روی عمودمنصف پاره‌خط از دو سر پاره‌خط به یک فاصله است. ث) هر نقطه روی نیمساز یک زاویه، از دو ضلع زاویه به یک فاصله است.