برای حل این مسئله، باید از خواص زاویهها در دایره بهره بگیریم:
1. **زاویه مرکز:** زاویههای مرکز برابر با دو برابر زاویه محاطی هستند که بر یک کمان مشخص تکیه میکنند. بنابراین زاویه مرکز \( \angle BOD \) که بر کمان \( BD \) تکیه دارد برابر است با:
\( \hat{O} = 2 \times \angle BCD \).
2. **زاویه \( \angle BCD \):** از آنجایی که زاویه \( \angle BOD \) که همان زاویه مرکزی است برابر با \( 120^\circ \) است، زاویه محاطی \( \angle BCD \) برابر است با:
\[
\angle BCD = \frac{120}{2} = 60^\circ.
\]
3. **زاویه مرکزی در مثلث \( \triangle AOD: \)** در این مثلث، چون \( O \) مرکز دایره است و \( AD \) قطر دایره است، زاویه \( \angle AOD \) نیز زاویه مرکزی است و محیط دایره را نصف میکند. بنابراین:
\[
\hat{O} = 120^\circ - 60^\circ = 60^\circ.
\]
4. **محاسبه زاویه \( \angle A \):**
- چون \( AO \) و \( AD \) هم شعاع دایره هستند، \( \triangle AOD \) متساویالساقین است و زاویههای قاعدهی آن \( \angle A \) و \( \angle O \) برابر خواهند بود.
- بنابراین:
\[
\angle A + \angle O = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \Rightarrow \angle A = \angle O = 60^\circ.
\]
5. **زاویه \( \angle C:**
- با توجه به مثلث \( \triangle AOC \) که درون دایره قرار دارد:
\[
\angle C = 180^\circ - 2 \times \angle A = 180^\circ - 2 \times 60^\circ = 60^\circ.
\]
بنابراین، پاسخ نهایی برای زوایای مذکور در تصویر به این صورت است:
- \( \hat{O} = 60^\circ \)
- \( \hat{A} = 60^\circ \)
- \( \hat{C} = 60^\circ \)