**مسئله اول:**
معادله $3x^2 - 18x - 3 = 0$ را با استفاده از روش مربع کامل حل کنید.
برای حل این معادله با روش مربع کامل، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. **تقسیم بر ضریب $x^2$:** ابتدا کل معادله را بر ضریب $x^2$ که در اینجا 3 است، تقسیم میکنیم:
$x^2 - 6x - 1 = 0$
2. **منتقل کردن عدد ثابت به سمت راست:** عدد ثابت را به سمت دیگر معادله منتقل میکنیم:
$x^2 - 6x = 1$
3. **اضافه کردن مربع نصف ضریب $x$ به دو طرف:** ضریب $x$ برابر 6- است. نصف آن 3- میشود و مربع آن 9 است. این عدد را به دو طرف معادله اضافه میکنیم:
$x^2 - 6x + 9 = 1 + 9$
4. **نوشتن به صورت مربع کامل:** سمت چپ معادله اکنون یک مربع کامل است:
$(x - 3)^2 = 10$
5. **گرفتن جذر از دو طرف:** از دو طرف معادله جذر میگیریم:
$x - 3 = /pm/sqrt{10}$
6. **حل برای $x$:** مقدار $x$ را به دست میآوریم:
$x = 3 /pm/sqrt{10}$
پس جوابهای معادله عبارتند از:
$x_1 = 3 + /sqrt{10}$
$x_2 = 3 - /sqrt{10}$
**مسئله دوم:**
نمودار تابع $f(x)$ را رسم کنید. داریم:
$f(2) = -3$
$f(5) = 4$
$f(x) = /sqrt{2-x}$
اولین نکته این است که مقادیر $f(2) = -3$ و $f(5) = 4$ با تعریف تابع $f(x) = /sqrt{2-x}$ همخوانی ندارند، زیرا ریشه دوم همیشه مقداری نامنفی برمیگرداند.
بیایید فرض کنیم منظور از سوال، رسم نمودار تابع $f(x) = /sqrt{2-x}$ باشد و دو نقطه داده شده صرفاً برای آشنایی با مفهوم تابع باشند یا شاید به اشتباه نوشته شده باشند.
برای رسم نمودار $f(x) = /sqrt{2-x}$:
1. **تعیین دامنه:** ریشه دوم باید نامنفی باشد، پس:
$2 - x /ge 0 /implies x /le 2$
بنابراین دامنه تابع $x /in (-/infty, 2]$ است.
2. **محاسبه چند نقطه:**
* وقتی $x = 2$: $f(2) = /sqrt{2-2} = /sqrt{0} = 0$. نقطه (2, 0).
* وقتی $x = 1$: $f(1) = /sqrt{2-1} = /sqrt{1} = 1$. نقطه (1, 1).
* وقتی $x = -2$: $f(-2) = /sqrt{2-(-2)} = /sqrt{4} = 2$. نقطه (-2, 2).
* وقتی $x = -7$: $f(-7) = /sqrt{2-(-7)} = /sqrt{9} = 3$. نقطه (-7, 3).
3. **رسم نمودار:** این تابع نیمه منحنیای است که از نقطه (2, 0) شروع شده و به سمت چپ و بالا ادامه پیدا میکند. این نمودار نیمه بالایی یک سهمی افقی است که به سمت چپ باز میشود.
**مسئله سوم:**
شکل زیر نمودار پیکانی (ون) یک تابع میباشد. آن را به صورت زوج مرتب نمایش دهید.
با توجه به نمودار ون:
- مجموعه اول (سمت چپ) که ورودیهای تابع هستند، شامل عناصر A و B است.
- مجموعه دوم (سمت راست) که خروجیهای تابع هستند، شامل عناصر $/{0, 1, -1/}$ است.
نمودار پیکانی نشان میدهد که:
- عنصر A به 0 نگاشت شده است.
- عنصر B به 1 نگاشت شده است.
بنابراین، تابع به صورت زوج مرتب زیر نمایش داده میشود:
$f = /{(A, 0), (B, 1)/}$
**مسئله چهارم:**
معادله $x^2 + 6x - 7 = 0$ را به روش دلتا (روش کلی حل معادلات درجه دوم) حل کنید.
برای حل این معادله، ابتدا ضرایب را مشخص میکنیم:
$a = 1$, $b = 6$, $c = -7$
1. **محاسبه دلتا ($/Delta$):**
$/Delta = b^2 - 4ac$
$/Delta = (6)^2 - 4(1)(-7)$
$/Delta = 36 + 28$
$/Delta = 64$
2. **محاسبه ریشهها:** از آنجایی که $/Delta > 0$، دو ریشه حقیقی متمایز داریم:
$x = /frac{-b /pm /sqrt{/Delta}}{2a}$
$x_1 = /frac{-6 + /sqrt{64}}{2(1)} = /frac{-6 + 8}{2} = /frac{2}{2} = 1$
$x_2 = /frac{-6 - /sqrt{64}}{2(1)} = /frac{-6 - 8}{2} = /frac{-14}{2} = -7$
پس جوابهای معادله عبارتند از $x = 1$ و $x = -7$.
**مسئله پنجم:**
برد تابع $f$ را با توجه به دامنه $A = /{-2, 0, 1, -1/}$ و ضابطه $f(x) = /frac{x}{x-2}$ بدست آورید.
دامنه تابع $A = /{-2, 0, 1, -1/}$ است. باید مقدار تابع را برای هر یک از این ورودیها محاسبه کنیم:
* برای $x = -2$:
$f(-2) = /frac{-2}{-2 - 2} = /frac{-2}{-4} = /frac{1}{2}$
* برای $x = 0$:
$f(0) = /frac{0}{0 - 2} = /frac{0}{-2} = 0$
* برای $x = 1$:
$f(1) = /frac{1}{1 - 2} = /frac{1}{-1} = -1$
* برای $x = -1$:
$f(-1) = /frac{-1}{-1 - 2} = /frac{-1}{-3} = /frac{1}{3}$
برد تابع، مجموعهای از تمام مقادیر خروجی است. پس برد تابع برابر است با:
برد $= /{/frac{1}{2}, 0, -1, /frac{1}{3}/}$
**مسئله ششم:**
نمودار سهمی $y = x^2 + 4x + 3$ را رسم کنید.
برای رسم این سهمی، مراحل زیر را دنبال میکنیم:
1. **محاسبه رأس سهمی:**
* مختص $x$ رأس: $x_v = /frac{-b}{2a} = /frac{-4}{2(1)} = -2$
* مختص $y$ رأس: $y_v = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$
رأس سهمی در نقطه $(-2, -1)$ قرار دارد.
2. **محاسبه عرض از مبدأ:** عرض از مبدأ زمانی است که $x=0$.
$y = (0)^2 + 4(0) + 3 = 3$.
عرض از مبدأ در نقطه $(0, 3)$ قرار دارد.
3. **محاسبه طول از مبدأ (ریشهها):** طول از مبدأ زمانی است که $y=0$.
$x^2 + 4x + 3 = 0$
با فاکتورگیری: $(x+1)(x+3) = 0$
پس ریشهها $x = -1$ و $x = -3$ هستند.
نقاط تقاطع با محور $x$ عبارتند از $(-1, 0)$ و $(-3, 0)$.
4. **تعیین جهت باز شدن سهمی:** چون ضریب $x^2$ (یعنی $a$) مثبت است ($a=1$)، سهمی رو به بالا باز میشود.
5. **رسم نمودار:** با داشتن رأس، عرض از مبدأ و طول از مبدأ، میتوانیم نمودار سهمی را رسم کنیم. نقطه تقارن سهمی روی خط $x = -2$ قرار دارد.
