برای بررسی درستی هر یک از تساویها، باید به ترتیب بهصورت زیر پیش برویم:
### الف:
\[
\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x
\]
از اتحاد مجموع مربعهای سینوس و کسینوس و با استفاده از اتحاد دو برابر زاویه، میتوانیم رابطه \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) و \( 2\sin^2 x \cos^2 x = (\sin 2x)^2 \) را استفاده کنیم و به تساوی برسیم. در نتیجه این عبارت صحیح است.
### ب:
\[
\cos^2 x (\cot^2 x + 1) = 2 - \sin^2 x
\]
با توجه به اتحاد مثلثاتی \( \cot^2 x + 1 = \csc^2 x \) و اینکه \( \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x} \)، مشخص میشود که این تساوی نادرست است.
### پ:
\[
\frac{1 + \tan x}{1 + \cot x} = \tan x
\]
این تساوی پس از سادهسازی نادرست است. زیرا تحلیل آن به \(\tan\) و \(\cot\) میرسد که همیشه به صورت مستقیم مساوی نیستند.
### ت:
\[
1 - \frac{\cos^2 \theta}{1 + \sin \theta} = \sin \theta
\]
پس از سادهسازی این تساوی درست است. میتوانیم از اتحادهای مثلثاتی برای تأیید آن استفاده کنیم.
### ث:
\[
\frac{1}{\sin \theta} - \cot \theta = \frac{\sin \theta}{1 + \cos \theta}
\]
پس از بررسی و سادهسازی مشخص میشود که این تساوی نادرست است.
### ج:
\[
(\frac{1}{\cos x} + \tan x)(1 - \sin x) = \cos x
\]
این رابطه پس از بررسی و محاسبه نادرست است.
### چ:
\[
\frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\cos^2 x} = (1 + \tan x)(\tan x - 1)
\]
این تساوی را میتوان با استفاده از اتحادهای مربوط به تفاوت مربعها بررسی کرد، و نادرستی یا درستی آن را اثبات کرد. اینجا نادرست است.
### ح:
\[
\frac{\sin^2 \alpha - \tan^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - \cot^2 \alpha} = \tan^6 \alpha (\sec^6 \alpha)
\]
این رابطه که ترکیبی از چند اتحاد مثلثاتی است، میتواند با سادهسازی نشان داده شود که نادرست است.
بررسی هر عبارت نیاز به دقت و استفاده از اتحادهای مثلثاتی دارد.
