۱. در مثلث متساوی‌الساقین $ABC$، اگر $AD$ نیمساز زاویه $A$ باشد، ثابت کنید $AD$ میانه نیز هست؟ فرض: $AB=AC$ و $A_{1}=A_{2}$ حکم: $BD=DC$ [شکل: مثلث متساوی‌الساقین ABC با پاره‌خط AD که زاویه A را نصف کرده است؛ AB=AC و BD=DC]

۲. نقطه $P$ روی عمود منصف پاره‌خط $AB$ می‌باشد؛ ثابت کنید این نقطه از دوسر پاره‌خط $AB$ به یک فاصله است؟

۳. ثابت کنید در هر مثلث مجموع زاویه‌های داخلی آن $180^{\circ}$ است؟

۴. ثابت کنید دو زاویه متقابل به رأس باهم برابرند؟

۵. ثابت کنید در هر متوازی‌الاضلاع ضلع‌های روبه‌رو باهم برابرند؟