دو مثلث \(ABC\) و \(DEF\) به ترتیب به اضلاع \(x-1\)، \(y\) و 2، و \(x+7\)، \(10\)، \(x\) با هم مشابهاند. اندازه ضلعهای مثلث از کوچک به بزرگ نوشته شده است. مقدار \(x\) را پیدا کنید.
با توجه به ویژگیهای مثلثهای مشابه، نسبت اضلاع متناظر آنها باید برابر باشد. بنابراین داریم:
\[
\frac{x-1}{2} = \frac{y}{10} = \frac{x+7}{x}
\]
از اینجا، ابتدا نسبت اول و دوم را مساوی قرار میدهیم:
\[
\frac{x-1}{2} = \frac{y}{10} \implies 10(x-1) = 2y \implies 10x - 10 = 2y \implies y = 5x - 5
\]
سپس نسبت اول و سوم را برابر قرار میدهیم:
\[
\frac{x-1}{2} = \frac{x+7}{x} \implies x(x-1) = 2(x+7) \implies x^2 - x = 2x + 14 \implies x^2 - 3x - 14 = 0
\]
از معادله درجه دو، ریشههای \(x\) را پیدا میکنیم:
معادله درجه دو: \(x^2 - 3x - 14 = 0\)
روش استفاده از فرمول ریشهها:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
در اینجا \(a = 1\)، \(b = -3\)، \(c = -14\):
\[
x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 56}}{2}
\]
\[
x = \frac{3 \pm \sqrt{65}}{2}
\]
چون \(\sqrt{65}\) عددی صحیح نیست، باید از ارزش تقریبی استفاده کنیم. اما به صورت دقیقتر اگر بخواهیم: میتوانیم راه حلی برای تقریب عدد پیدا کنیم. در نهایت باید چک کنید که مقادیر پیدا شده واقعاً دو ضلع کوچکتر و بزرگتر از ضلع سوم باشند.
